a>0,b>0,c>0のとき、不等式(a+b)(b+c)(c+a)≧8abcを証明せよ。
また等号が成り立つ時を調べよ。
をわかりやすく教えていただけませんか…‼︎
特に等号が成り立つ時の数を求めるのが
苦手で全然理解出来ません
よければ宜しくお願いします…！
不等式の証明について
フォーラムルール
新規投稿は質問のみとさせていただきます。
新規投稿は質問のみとさせていただきます。
-
ゲスト
Re: 不等式の証明について
a.b.cすべて正というのを使います。
相加平均≧相乗平均より
a+b≧２√ab--(1) 等号はa＝ｂのとき
b+c≧２√ｂｃ--（２）等号はｂ＝ｃのとき
c+a≧２√ca--(3)等号はc＝aのとき
a,b,c>0ですので ab>0かつｂｃ＞０かつca>0です
したがって 左辺どうし、および 右辺どうし掛け算しても大小はかわりません。
（１）（２）（３）の左辺どうし および 右辺どうしを掛け算して
(a+b)(b+c)(c+a）≧２x２x２x√（abc)^2
よって
(a+b)(b+c)(c+a)≧８abc
等号が成り立つのは式（１）（２）（３）の横に書きましたが
それぞれが等しいときなので
a＝ｂ＝ｃのときです
このとき 両辺とも（１例として） 2ax2ax2a＝8a^3になります
a＝ｂ＝ｃのときなので 8b^3や８ｃ＾３でも同じことになります。
相加平均≧相乗平均より
a+b≧２√ab--(1) 等号はa＝ｂのとき
b+c≧２√ｂｃ--（２）等号はｂ＝ｃのとき
c+a≧２√ca--(3)等号はc＝aのとき
a,b,c>0ですので ab>0かつｂｃ＞０かつca>0です
したがって 左辺どうし、および 右辺どうし掛け算しても大小はかわりません。
（１）（２）（３）の左辺どうし および 右辺どうしを掛け算して
(a+b)(b+c)(c+a）≧２x２x２x√（abc)^2
よって
(a+b)(b+c)(c+a)≧８abc
等号が成り立つのは式（１）（２）（３）の横に書きましたが
それぞれが等しいときなので
a＝ｂ＝ｃのときです
このとき 両辺とも（１例として） 2ax2ax2a＝8a^3になります
a＝ｂ＝ｃのときなので 8b^3や８ｃ＾３でも同じことになります。