正整数a,b,c,dはa²+b²+c²=d²を満たしている。このとき、次の問いに答えよ。
(1)a,b,cのうち少なくとも2つは偶数であることを示せ。
(2)a,b,c,dのうち少なくとも1つは3の倍数であることを示せ。
解答解説をお教えください。
molの解法を教えてください
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Re: molの解法を教えてください
(1)
正整数a,b,c,dが$a^2 + b^2 + c^2 = d^2$を満たしているならば、4数のうち
奇数は0個か2個か4個です。
ここで、4数全てが奇数と仮定します。
整数の2乗を4による剰余系で考えると、
$0^2 = 0 ≡ 0 $(mod 4)
$1^2 = 1 ≡ 1$ (mod 4)
$2^2 = 4 ≡ 0 $(mod 4)
$3^2 = 9 ≡ 1$ (mod 4)
なので、奇数の2乗は必ず1になります。これより
$a^2 + b^2 + c^2 ≡ 3 $(mod 4)
$d^2 ≡ 1 $(mod 4)
となり、$a^2 + b^2 + c^2 = d^2$は成立しません。
ゆえに4数中に奇数は0個か2個すなわち偶数は少なくとも2個あります。
(2)
4数すべてが3の倍数ではないと仮定します。
整数の2乗を3による剰余系で考えると、
$0^2 = 0 ≡ 0 $(mod 3)
$1^2 = 1 ≡ 1 $(mod 3)
$2^2 = 4 ≡ 1$ (mod 3)
なので、3の倍数ではない数の2乗は必ず1になります。これより
$a^2 + b^2 + c^2 ≡ 0$ (mod 3)
$d^2$ ≡ 1 (mod 3)
となり、$a^2 + b^2 + c^2 = d^2$は成立しません。
ゆえに4数中には3の倍数が少なくとも1個存在します。
正整数a,b,c,dが$a^2 + b^2 + c^2 = d^2$を満たしているならば、4数のうち
奇数は0個か2個か4個です。
ここで、4数全てが奇数と仮定します。
整数の2乗を4による剰余系で考えると、
$0^2 = 0 ≡ 0 $(mod 4)
$1^2 = 1 ≡ 1$ (mod 4)
$2^2 = 4 ≡ 0 $(mod 4)
$3^2 = 9 ≡ 1$ (mod 4)
なので、奇数の2乗は必ず1になります。これより
$a^2 + b^2 + c^2 ≡ 3 $(mod 4)
$d^2 ≡ 1 $(mod 4)
となり、$a^2 + b^2 + c^2 = d^2$は成立しません。
ゆえに4数中に奇数は0個か2個すなわち偶数は少なくとも2個あります。
(2)
4数すべてが3の倍数ではないと仮定します。
整数の2乗を3による剰余系で考えると、
$0^2 = 0 ≡ 0 $(mod 3)
$1^2 = 1 ≡ 1 $(mod 3)
$2^2 = 4 ≡ 1$ (mod 3)
なので、3の倍数ではない数の2乗は必ず1になります。これより
$a^2 + b^2 + c^2 ≡ 0$ (mod 3)
$d^2$ ≡ 1 (mod 3)
となり、$a^2 + b^2 + c^2 = d^2$は成立しません。
ゆえに4数中には3の倍数が少なくとも1個存在します。