数学 数列の問題で
①初項1、公比2、末項64の等比数列の和
②初項162、公比-1/3、末項2の等比数列の和
③√2-1、1… の等比数列の初項からn項目の和
を求めたいのですが
式を立てても計算ができません。
①Ｓn=(2^n)-1=64
②Ｓn=1-(-1/3)^n=4/81
③Ｓn=(√2-1){1-(√2+1)^n}/-√2
というところまで来たのですが
果たして合っているのか…
ちなみにそれぞれの答えは
①127
②122
③{(√2+1)^(n-1)-√2+1}/√2
となるようです
解説よろしくお願いします><
※ちなみに√2はすべて√2で1つの項です
※③の答え見にくいですが分母の累乗はn-1乗です
基本的な等比数列の問題の確認
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Re: 基本的な等比数列の問題の確認
①
初項が1,公比が2の等比数列の一般項anは、an=1・2^(n-1) = 2^(n-1)
末項64は、64=2^6=2^(n-1)より、n=7 だから、第7項。
よって、Sn = {1・(2^n - 1)}/2-1 = (2^n) - 1 だから、第7項までの和は、
$2^7 $- 1 = 128 - 1 = 127
②
初項が162,公比が(-1/3)の等比数列の一般項anは、an=162・(-1/3)^(n-1)
末項2は、2=162・(-1/3)^(n-1) より、(1/81)=(-1/3)^(n-1) だから、n=5
よって、Sn = 162・[ 1 - {(-1/3)^n} ] / 1-(-1/3) = (243/2)・[ 1 - {(-1/3)^n} ] だから、第５項までの和は、
(243/2)・{ 1 - (-1/243)} = 244/2 = 122
③
√2-1,1,√2+1,・・・・ より、初項√2-1, 公比√2+1 だから、
Sn = (√2-1)・[ {(√2+1)^n} - 1] / { (√2+1) - 1}
= (√2-1)・[ { (√2+1)・(√2+1)^(n-1) } - 1 ]/ √2
= { 1・(√2+1)^(n-1) - (√2-1) } / √2
= { (√2+1)^(n-1) - √2 + 1) } / √2
初項が1,公比が2の等比数列の一般項anは、an=1・2^(n-1) = 2^(n-1)
末項64は、64=2^6=2^(n-1)より、n=7 だから、第7項。
よって、Sn = {1・(2^n - 1)}/2-1 = (2^n) - 1 だから、第7項までの和は、
$2^7 $- 1 = 128 - 1 = 127
②
初項が162,公比が(-1/3)の等比数列の一般項anは、an=162・(-1/3)^(n-1)
末項2は、2=162・(-1/3)^(n-1) より、(1/81)=(-1/3)^(n-1) だから、n=5
よって、Sn = 162・[ 1 - {(-1/3)^n} ] / 1-(-1/3) = (243/2)・[ 1 - {(-1/3)^n} ] だから、第５項までの和は、
(243/2)・{ 1 - (-1/243)} = 244/2 = 122
③
√2-1,1,√2+1,・・・・ より、初項√2-1, 公比√2+1 だから、
Sn = (√2-1)・[ {(√2+1)^n} - 1] / { (√2+1) - 1}
= (√2-1)・[ { (√2+1)・(√2+1)^(n-1) } - 1 ]/ √2
= { 1・(√2+1)^(n-1) - (√2-1) } / √2
= { (√2+1)^(n-1) - √2 + 1) } / √2