無理方程式について

[ゲスト]

大至急

√(7 - 2x) = x - 2の解の求め方を教えてください。両辺二乗したり移行したりする(x-3)(x+1)=0までは求めれるので解は3と-1かと思えば答えは3だけです。

[ゲスト]

√(7-2x)=x-2・・・①
左辺≧0だから、右辺≧0
よって、x-2≧0よりx≧2・・・②
①の両辺を2乗して、7-2x=(x-2)²
7-2x=x²-4x+4
x²-2x-3=0
(x+1)(x-3)=0
よって、x=-1,3
②よりx≧2だから、x=3

√(7 - 2x)≧0なので、x-2も≧0です。
x=-1は不適です。

[ゲスト]

ありがとうございます。

なぜ不適な解が計算からもとまるのでしょうか。少しバカな質問ですが自分の戸惑いのこんかんだとおもっています。今まで解を求める問題で因数分解があったらそのままできたのに。

[ゲスト]

2乗してしまうと、マイナスがプラスになってしまうからです。
この場合、左辺は0以上で確定ですが、右辺は0以下も存在します。
ですが両辺2乗すると、右辺がマイナスの時もプラスになってしまいます。
ですので、2乗して等しい解はでますが、2乗する前の解であるかは別です。
実際最初の式にx=-1を代入すると3=-3となるので、明らかに不適です。

[ゲスト]

なるほどです
ということは今回のように平方根がなくても二乗するような場合不適は存在するということでしょうか。例えば(x+1)^2=……など。それか展開できる二乗の式なら大丈夫と言うわけでしょうか。今回のような平方根は展開しようがないので

[ゲスト]

2乗する場合は不適が存在する可能性があります。なので2乗する前に条件を付ける（今回ならx≧2）必要があります。
展開するだけなら2乗しないので、正負の不適は存在しないと思います。

あと付け加えるなら、ルートの中も0以上である必要があります。でないと虚数になってしまいます
ですので、今回の問題は、条件として正確には7-2x≧0,x-2≧0が必要でした。
別の問題を解くときは注意してください。