漸化式と図形について

[ゲスト]

単位円の中に、初項が１の等比数列を成す半径の三つの円があります。
三つの円は互いに接しながら単位円に各々内接しています。
三つ目の円の半径は幾つ位ですか。
半径が 0.27... 位で、公比が 0.66... 位のはずです。

[ゲスト]

こちらが写真になります。ご確認をお願いします。

[ゲスト]

写真がありませんが、だいたいで解いてみますね
公比がα=0.66…だと、
r1+r2 = 1×0.66+1×0.66² = 1.0956 > r0
となって、r1とr2の円が外接していたら、r0の円に収まりません。
公比はもう少し小さくなるはずです。

デカルトの円定理より、
(-1/r0+1/r1+1/r2+1/r3)² = 2(1/r0²+1/r1²+1/r2²+1/r3²)
が成り立ちます。

r0=1,r1=α,r2=α²,r3=α³を代入すると、
(-1+1/α+1/α²+1/α³)² = 2(1+1/α²+1/α⁴+1/α⁶)
という式になり、これを解けば公比が求まります。

これの厳密値は、Wolfram Alphaに解かせてみると、
α = (1/3)(-1 - 2/³√(17+3√33) + ³√(17+3√33))
=0.5436890126920763615708560…
になるようです。

三つ目の円の半径は、
r3=α³=0.160713…
くらいになります。

実際、この公比で円を書いてみたら、いい感じに接しています。

(-1+1/α+1/α²+1/α³)² = 2(1+1/α²+1/α⁴+1/α⁶)
を解くのに挑戦してみると
両辺にα⁶を掛けて展開すると
α⁶+2α⁵+3α⁴-α²-2α+1 = 0
これは
(α³+α²+α-1)² = 0
と因数分解できるので、
α³+α²+α-1 = 0
という3次方程式を解けばいい。ということになりますね。

ここまでくれば、最悪の場合でも解の公式があるので、代数的に解けることが分かります。
まあ、その最悪の場合に当てはまってるので、これ以上手計算する気にはなれませんが。

この三次式を見ると、
r0 = r1+r2+r3
が成り立っていればいいということになりますね。
偶然なのか、必然なのか、調べたら何か出てきそうな気はします。