【平均値の定理】
平均値の定理ですが、どういうときに用いたらよいのでしょぅか？
中間値の定理と似ていてよくわかりません・・・。
全く違うものと思っていても、いざ問題に当たると平均値の定理はどういう時に用いるかわからず、こんがらがってしまいます。
また[a,b]で連続、(a,b)で微分可能というのは、平均値の定理を用いる場合、毎回どうやって調べたのに基づいて書いているのでしょうか？それとも確認せずに書いておくだけでいいのでしょうか？
平均値の定理について
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Re: 平均値の定理について
平均値の定理と中間値の定理は定理はぜんぜん違いますよ！！
感覚的には
中間値の定理⇒グラフで言うy座標に関するもの
平均値の定理⇒グラフで言う傾きに関するもの
ですが後者は必ずしもグラフと密接にかかわるわけではありません。
まず視覚的にこの定理を捉えるためにはオーソドックスに平面状に二点A,Bをとって適当な曲線で結ぶことからはじめます。
中間値の定理とはわかってらっしゃるとは思いますが、その曲線はAの座標とBのｙ座標の間のすべてのｙ座標をとりうるというものです。
平均値の定理とはABの傾きと同じ傾きの接線を持つ曲線上の点が,A～Bまでの間に必ずあるというものです。
ただしこれはA～Bまでが連続でかつ微分可能でないといけません。
微分可能であれば連続なので、連続でなくてはいけないことはわかると思いますが、
微分可能でないといけないことはy=|x|の(-1,1)と(1,1)をA,Bとすればわかりますよね。
（ただ開区間と閉区間については一応吟味しておきましょう）
>>[a,b]で連続、(a,b)で微分可能というのは、平均値の定理を用いる場合、毎回どうやって調べたのに基づいて書いているのでしょうか
高校レベルで使う平均値の定理は、この点に関しては明らかな場合がほとんどです。(e^x や logx (x>0)など)
もし明らかでない場合でも使用する定義域(α≦x≦βなど)からすぐに導き出せることがほとんどなので、
「f(x)はx=α,x=βで連続、α＜x＜βで微分可能」などと一言書いておけばまず大丈夫です。
（x=α、βでも微分可能なら「f(x)はα≦x≦βで微分可能」の一言で十分です）
実際の問題ですがこれを使わないと解けない問題は、かなりの場合見ただけでわかります。
①f(a)-f(b)が絶対値のついた不等式または二つの不等式で囲まれている場合。
②f(a)-f(b)な感じのやつにlim(x⇒∞)がついている場合。
③分母がゼロになる極限タイプで微分してるっぽいけれどどうしても定義どおりに変形できない場合。
ほとんどがこの３つのタイプです。
①は教科書に大体載っているでしょう。簡単なやつとしては
e^a<(e^b-e^a)/(b-a)<e^bを証明せよ
みたいなやつです
②は一見すると平均値の定理とわからない曲者ですが、これも微分か平均値かしかアプローチがないので大体わかります
a定数、f(x)はx>0で微分可能とすると
lim(x→∞)f'(x)=aのとき、lim(x→∞)｛f(x+a)-f(x)｝を求めよ
などがこのパターンです。
③も同様です。一見平均値となんら関係がないように見えますが、関係ありありです。これは平均値しかアプローチがないことがほとんどなので、特に悩まずこの方法を選択できます。
lim(x→+0)｛e^x-e^(sinx)｝/(x-sinx)
なんかがそうですね。
・・・だいたいこの3つの内どれかの問題に帰結できれば、あとは平均値を使うとスマートに解けることが多いです。
後コツとしては、limのような複雑な部分は簡単な不等式α≦c≦βのほうで収束か発散させるつもりでほうっておいて、
まずは平均値の定理を使う関数を見つけて、何とかして中間の適当な値cを不等式で挟み込むことですね。
②のように分母がない場合は定数化した分母を自分で作って
定理をこのように変形すると大体うまくいきます。
b-a=k(定数)a<bのとき
f(b)-f(a)=kf'(c),a<c<b
感覚的には
中間値の定理⇒グラフで言うy座標に関するもの
平均値の定理⇒グラフで言う傾きに関するもの
ですが後者は必ずしもグラフと密接にかかわるわけではありません。
まず視覚的にこの定理を捉えるためにはオーソドックスに平面状に二点A,Bをとって適当な曲線で結ぶことからはじめます。
中間値の定理とはわかってらっしゃるとは思いますが、その曲線はAの座標とBのｙ座標の間のすべてのｙ座標をとりうるというものです。
平均値の定理とはABの傾きと同じ傾きの接線を持つ曲線上の点が,A～Bまでの間に必ずあるというものです。
ただしこれはA～Bまでが連続でかつ微分可能でないといけません。
微分可能であれば連続なので、連続でなくてはいけないことはわかると思いますが、
微分可能でないといけないことはy=|x|の(-1,1)と(1,1)をA,Bとすればわかりますよね。
（ただ開区間と閉区間については一応吟味しておきましょう）
>>[a,b]で連続、(a,b)で微分可能というのは、平均値の定理を用いる場合、毎回どうやって調べたのに基づいて書いているのでしょうか
高校レベルで使う平均値の定理は、この点に関しては明らかな場合がほとんどです。(e^x や logx (x>0)など)
もし明らかでない場合でも使用する定義域(α≦x≦βなど)からすぐに導き出せることがほとんどなので、
「f(x)はx=α,x=βで連続、α＜x＜βで微分可能」などと一言書いておけばまず大丈夫です。
（x=α、βでも微分可能なら「f(x)はα≦x≦βで微分可能」の一言で十分です）
実際の問題ですがこれを使わないと解けない問題は、かなりの場合見ただけでわかります。
①f(a)-f(b)が絶対値のついた不等式または二つの不等式で囲まれている場合。
②f(a)-f(b)な感じのやつにlim(x⇒∞)がついている場合。
③分母がゼロになる極限タイプで微分してるっぽいけれどどうしても定義どおりに変形できない場合。
ほとんどがこの３つのタイプです。
①は教科書に大体載っているでしょう。簡単なやつとしては
e^a<(e^b-e^a)/(b-a)<e^bを証明せよ
みたいなやつです
②は一見すると平均値の定理とわからない曲者ですが、これも微分か平均値かしかアプローチがないので大体わかります
a定数、f(x)はx>0で微分可能とすると
lim(x→∞)f'(x)=aのとき、lim(x→∞)｛f(x+a)-f(x)｝を求めよ
などがこのパターンです。
③も同様です。一見平均値となんら関係がないように見えますが、関係ありありです。これは平均値しかアプローチがないことがほとんどなので、特に悩まずこの方法を選択できます。
lim(x→+0)｛e^x-e^(sinx)｝/(x-sinx)
なんかがそうですね。
・・・だいたいこの3つの内どれかの問題に帰結できれば、あとは平均値を使うとスマートに解けることが多いです。
後コツとしては、limのような複雑な部分は簡単な不等式α≦c≦βのほうで収束か発散させるつもりでほうっておいて、
まずは平均値の定理を使う関数を見つけて、何とかして中間の適当な値cを不等式で挟み込むことですね。
②のように分母がない場合は定数化した分母を自分で作って
定理をこのように変形すると大体うまくいきます。
b-a=k(定数)a<bのとき
f(b)-f(a)=kf'(c),a<c<b