(a+b)(1/a+1/b)≧4を相加・相乗平均で証明するときは、展開をせずa+b,1/a+1/bの2つに分けて考え、それぞれ
(a+b)(1/a+1/b)≧4を相加・相乗平均で証明するときは、展開をせずa+b,1/a+1/bの2つに分けて考え、それぞれの式に対して相加・相乗平均を用いて、辺々を掛け合わせれば証明できますよね？
でも、(a+1/b)(b+9/b)≧16ではそのようなやり方では解けません。
展開してからでないと解けない場合と、解ける場合の区別の仕方と、解けない理由を教えてください。
相加相乗の問題です
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ゲスト
Re: 相加相乗の問題です
(a+1/b)(b+9/a)≧16 ...←このことだと思います。
バラバラで考えると
a + 1/b ≧ 2√(a×1/b) = 2√(a/b) ....(等号は、a = 1/b のとき、つまり ab =1 のとき)...←この条件が引っかかります
b + 9/a ≧ 2√(b×9/a) = 6√(b/a) ....(等号は、b = 9/a のとき、つまり ab =9 のとき)...←〃
辺々をかけると
(a+1/b)(b+9/a) ＞ 2√(a/b) × 6√(b/a) = 12 ...上の等号条件がそろってないので、＝がつきません。
つまり、この方法では １２より大きいとしかわからず、１６以上という解はでません。
展開すると
左辺 = ab + 10 + 9/ab
≧ 2√( ab× 9/ab) + 10 ....(等号は、ab = 9/ab、より (ab)^2=9, ab = 3 のとき)
= 6 + 10
= 16
となり、(a+1/b)(b+9/a)≧16 ....(等号は、ab = 3 のとき)
が、証明できます。
バラバラで考えると
a + 1/b ≧ 2√(a×1/b) = 2√(a/b) ....(等号は、a = 1/b のとき、つまり ab =1 のとき)...←この条件が引っかかります
b + 9/a ≧ 2√(b×9/a) = 6√(b/a) ....(等号は、b = 9/a のとき、つまり ab =9 のとき)...←〃
辺々をかけると
(a+1/b)(b+9/a) ＞ 2√(a/b) × 6√(b/a) = 12 ...上の等号条件がそろってないので、＝がつきません。
つまり、この方法では １２より大きいとしかわからず、１６以上という解はでません。
展開すると
左辺 = ab + 10 + 9/ab
≧ 2√( ab× 9/ab) + 10 ....(等号は、ab = 9/ab、より (ab)^2=9, ab = 3 のとき)
= 6 + 10
= 16
となり、(a+1/b)(b+9/a)≧16 ....(等号は、ab = 3 のとき)
が、証明できます。