座標の問題

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「次の三角形が正三角形となるとき、点Pの座標を求めなさい」という問題です。
コンパスを使った作図なら出来るのですが、座標の場合はよく分かりません。どのように求めれば良いのか教えてください。

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もっとスマートな手順があるかもですが…
地道に直角三角形の辺の比の関係を使ってたどり着いてみます。

まず、添付画像のように問題の図に頂点の名前や補助線をつけます。
そうすると、⊿ABOは45°の直角三角形なので辺の比が決まるので、
$AB=2\sqrt{2}$

次に、ABの中点をHとすると
$AH(もしくはBH)=\sqrt{2}$
⊿AHP(もしくは⊿BHP)は30°・60°の直角三角形なので
$PH=\sqrt{2}・\sqrt{3}=\sqrt{6}$

⊿AHO(もしくは⊿BHO)に注目するとこれも45°の直角三角形なので
$HO=\sqrt{2}$

すると
$PO=\sqrt{6}-\sqrt{2}$　とできて、この PO が斜辺となる45°の直角三角形の辺の大きさがわかれば、それがx座標・y座標の値となります。

$X=(\sqrt{6}ー\sqrt{2})÷\sqrt{2}=\sqrt{3}-1$

よって、Pの座標は
$P(\sqrt{3}-1 , \sqrt{3}-1 )$
となるでしょう。
ちなみにこの数値はとても分かりにくいですが、$\sqrt{3}$はだいたい1.7くらいなので、目分量と比べてもよさそうな感じはしますよね。
こういうざっくりとでも検証できるのは大事です。