合成関数について

[ゲスト]

合成関数についての質問です。

次の関数f(x),g(x)に対して、合成関数f○g(x)を求めよ。

f(x)=2/(x-1),g(x)=2x+1

【解答】
f○g(x)=f(g(x))=f(2x+1)=1/x

とあるのですが
g(x)の値域がf(x)の定義域に含まれる時、関数f(g(x))を考えることができるということを考えると、

f○g(x)の場合、g(x)の値域;実数全体　f(x)の定義域;x=1を除く実数全体となり、g(x)の値域がf(x)の定義域には含まれないので、この場合は合成関数を考えることができないのでは？と思うのですが、なぜこのような解答となるのか、どなたか教えていただけませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

注意力はgoodですね(^-^)b 数学はこういう細かい部分をあいまいにするとだんだん分からなくなりますからね。
「g(x)の値域がf(x)の定義域に含まれる時(のみ)、関数f(g(x))を考えることができる」
というのは正しいのですが、ちょっととらえ違いをしていますね。より明確に言うと、
「g(x)の値域がf(x)の定義域に含まれる範囲のみ、関数f(g(x))を考えることができる」
となります。

つまり、g(x)の値域のうちf(x)の定義域に含まれない範囲が一部あったとしても、その時点ですべて排除されるわけではなく、その「g(x)の値域のうちf(x)の定義域に含まれない範囲」にあたるg(x)の定義域の範囲のみ、f(g(x))の定義域から除かれるということです。

今回の問題では、g(x)の値域は実数全体、f(x)の定義域は x=1 を除く実数全体ですから、g(x)の値が 1 となるようなg(x)の定義域、すなわち x=0 がf(g(x))の定義域から除かれます。
しかし、f(x)とg(x)を合成したときの式が 1/x となるので、x=0 は自動的に除かれて、結局こんな面倒なことを考えなくとも答えは同じになります。

実際、定義域や値域が何だかんだとやらなくとも、単に代入して整理すればそれがそのまま正しい答えである場合がほとんどなのですが、でもそうでない場合もあります。よくある例で、
$f(x)=a^x g(x)=log[a]x　$（[a]は対数の底）
のとき、
$f(g(x))=a^(log[a]x)=x$　(x＞0)
となり、f(g(x))=x の定義域は実数全体ではなく正の範囲に制限されます。これは、g(x)の定義域がx＞0だったからです。g(f(x))=x の定義域は実数全体になります。


追記
g(x)の値域がf(x)の定義域に含まれないような合成の例は、教科書の問題にもいくつか出ているのではないでしょうか。例えば、
$f(x)=x^2-1　g(x)=log[a]x$
のとき、
$g(f(x))=log[a](x^2-1)　$（x＜-1、1＜x）
とか。
今回の質問は、「分母は0になることはできない」という見落としやすい条件がからんだので、ちょっと混乱してしまっただけかと思います。