f,g∈C[a,b]に対し、
d2(f,g)=∮[a→b] ｜f(x)-g(x)｜dx
このとき、距離空間(C[a,b],d2)は完備でないことを示せ。
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距離空間の証明
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Re: 距離空間の証明
nを自然数とする。
cₙ:=(b-a)/(2n+1)と定める。
a≤x≤a+ncₙに対してfₙ(x):=0
a+ncₙ≤x≤a+(n+1)cₙに対してfₙ(x):=x/cₙ -(a/cₙ +n)
a+(n+1)cₙ≤x≤bに対してfₙ(x):=1
と定める。
n<mを自然数とする。
グラフの形状より
d₂(fₙ,fₘ)={(a+mcₘ)-(a+ncₙ)}/2
={m/(2m+1) -n/(2n+1)}(b-a)/2
=(m-n)(b-a)/{2(2n+1)(2m+1)}
=(1-n/m)(b-a)/{2(2n+1)(2+1/m)}
<(b-a)/(8n)→0(n→∞)
より{fₙ}はコーシー列
a≤x<(a+b)/2に対してg(x):=0
g((a+b)/2):=1/2
(a+b)/2<x≤bに対してg(x):=1
と定めると、{fₙ}はgに各点収束する。
しかしg∉C[a,b]であるから(C[a,b],d₂)は完備でない。
cₙ:=(b-a)/(2n+1)と定める。
a≤x≤a+ncₙに対してfₙ(x):=0
a+ncₙ≤x≤a+(n+1)cₙに対してfₙ(x):=x/cₙ -(a/cₙ +n)
a+(n+1)cₙ≤x≤bに対してfₙ(x):=1
と定める。
n<mを自然数とする。
グラフの形状より
d₂(fₙ,fₘ)={(a+mcₘ)-(a+ncₙ)}/2
={m/(2m+1) -n/(2n+1)}(b-a)/2
=(m-n)(b-a)/{2(2n+1)(2m+1)}
=(1-n/m)(b-a)/{2(2n+1)(2+1/m)}
<(b-a)/(8n)→0(n→∞)
より{fₙ}はコーシー列
a≤x<(a+b)/2に対してg(x):=0
g((a+b)/2):=1/2
(a+b)/2<x≤bに対してg(x):=1
と定めると、{fₙ}はgに各点収束する。
しかしg∉C[a,b]であるから(C[a,b],d₂)は完備でない。