確率とシグマの応用問題

[ゲスト]

確率計算についてです。

1~100の数字が出るサイコロがあるとします。
次のルールで2人が勝負する場合、
後攻の勝率は正確には何%ですか？
また、サイコロの目は乱数です
(1ゲームで同じ出目が出ることもあります)。

無くても大変有難いですが、
計算式まであると助かります><



①ゾロ目
交互にサイコロを振っていき、先にゾロ目(9/100の確率)を出した方が勝ち。
先行がゾロ目を出しても後攻もゾロ目が出た場合、勝負は続行。ただし、どちらかが100の出目を出した場合は後攻の勝ち。

②5が入っている数字
交互にサイコロを振っていき、先に5が入っている数字(19/100の確率)を出した方が勝ち。
先行が5の入った出目を出しても、後攻の人も5が入った出目を出した場合と、どちらかが100の出目を出した場合は後攻の勝ち。

③
②の21/100の確率バージョン

④
先行の人と後攻の人が1回ずつ振り、一の位の数が高い方の勝ち。先行後攻問わず10などの0が出た場合、その人は振り直す。2人の一の位の数字が大きい方が勝ち。
一の位の数字が同じ数であれば後攻の勝ち。
どちらかが100の出目を出した場合、後攻の勝ち。

[ゲスト]

①～③の解き方は共通。①についてのみ具体的に書くと、先行と後攻が1回ずつダイスを振るのを1ラウンドとして、1ラウンドで先行が勝つ確率は 先攻ぞろ目×後攻ぞろ目でも100でもない確率で81/100

後攻が勝つ確率は次の確率の和で、1009/10000
１．先攻が100を出す 1/100
２．先攻がぞろ目を出し、後攻が100を出す 9/10000
３．先攻が100もぞろ目も出さず、後攻がぞろ目又は100を出す 9/100

勝負がつかず次のラウンドに継続する確率は、両者ぞろ目でも100でもない確率 と 両者ぞろ目の確率 の和で8181/10000

nラウンド目に後攻が勝つ確率は、1009/10000 * (8181/10000)^(n-1)なので、あとはこの無限等比数列の和を求めればいい。

④はラウンドの継続がないので比較的簡単。10～90の出目は考えられないので、出目は91通り。後攻が勝つ場合を直接求めるのは面倒なので、先行が勝つ場合を全体から差し引く方針で。

先攻が勝つ確率は、先行が01～91を出した場合は先攻の負け確定、02～92の10通りを出して後攻は01～91を出す、先攻が03～93を出して後攻が先の10通りに加え02～92の20通りを出す……先攻が09～99の10通りを出して後攻が80通りを出す確率の和で、式で表すと

10/91^2 * Σ10n(n=1～8） となる。

これで求めた確率を1から引くと後攻が勝つ確率となる。