二次関数の難問について

[kobayasi]

以下の二次関数の問題の解説を作ってくれる人を探しております。よろしくお願いいたします。
＜問題＞
座標平面上に放物線y=x²と、A（０．６）を通り、傾きが正の直線があります。また放物線上のｘ座標がー２である点をBとする。放物線と直線の交点でｘ座標が負の点をPとし、直線とｘ軸との交点をQとする。PがAQの中点となるとき、次の各問いに答えなさい。ただし、原点をOとする。
（１）直線の方程式を求めなさい。
（２）放物線上にｘ座標が正であるRがある。三角形BORの面積が15となるとき、Rの座標を求めなさい。
（３）（２）のRに対して、直線BRとｘ軸との交点をDとする。このとき、四角形PBDQの面積を求めなさい。
この問題は図が与えられていないので、よろしければ図も一緒に書いてくれると嬉しいです。

[ゲスト]

回答が遅くなり申し訳ございません。

まずはイメージしやすいように問題文を図にしてみましょう。
添付１を見てください。
A,B,P,Qはこのような感じになります。
このグラフを使いながら問題を解いていきましょう。

（１）
この直線はAを通るので、切片が６の直線であることがわかります。
傾きをaとおくと、求めたい直線の式は次のように表せられます。

\begin{equation}
y=ax+6・・・①
\end{equation}

それではaを求めていきましょう。
aを求めるためには、この直線が通るある一点のx座標とy座標が分かればいいですよね。
ここで、この直線はPもしくはQを通るので、どちらかの座標を求めればいいということになります。

それではQを（q,0）と置いてみましょう。
すると、PはAQの中点なので以下のようになります。
\begin{equation}
Pのx座標：\frac{q+0}{2}=\frac{q}{2}
\end{equation}
\begin{equation}
Pのy座標：\frac{0+6}{2}=3
\end{equation}

これは$y=x^2$上の点であるので、代入したら成立します。
\begin{equation}
y=x^2
\end{equation}
\begin{equation}
3=(\frac{q}{2})^2
\end{equation}
\begin{equation}
12=q^2
\end{equation}
\begin{equation}
q=\pm2\sqrt{3}
\end{equation}

ここで、Qのx座標は負であることから、$q‎ = -2\sqrt{3}となります。
したがって、直線がQを通るので①の式に$Q(-2\sqrt{3},0)を代入しましょう。
\begin{equation}
y=ax+6
\end{equation}
\begin{equation}
0=a・(-2\sqrt{3})+6
\end{equation}
\begin{equation}
2a\sqrt{3}=6
\end{equation}
\begin{equation}
a=frac{6}{2\sqrt{3}}
\end{equation}
\begin{equation}
a=frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}
\end{equation}

よって直線の式は以下の通りです。
\begin{equation}
y=\sqrt{3}x+6
\end{equation}

（２）
問題文を図にすると添付２のようになります。
求めたいRの座標を文字で置いて、面積が１５というヒントをうまく使っていきましょう。
まずBの座標は放物線上になることから代入して以下だとわかります。
\begin{equation}
y=x^2=(-2)^2=4
\end{equation}
\begin{equation}
Bの座標（-2,4）
\end{equation}

ここから解き方はいくつかありますが、ここでは台形の面積から２つの三角形の面積を引いて、残った面積が15になると考えてみましょう。
Rのx座標をrとおくと、y座標は放物線上にあることから代入して$r^2$と表せられます。
するとBからx軸におろした線とRからx軸荷下ろした線で囲まれる台形の面積は以下のようになります。
\begin{equation}
（上辺+下辺）・高さ÷2=(4+r^2)・(r+2)÷2=\frac{(r^2+4)(r+2)}{2}・・・②
\end{equation}
また、左側の三角形の面積は$2×4÷2=4$、右側の三角形は$r×r^2÷2=\frac{r^3}{2}$であることから、
②の台形からこれらを引いたものが15となるので、式は以下のようになります。
\begin{equation}
\frac{(r^2+4)(r+2)}{2}-4-\frac{r^3}{2}=15
\end{equation}
\begin{equation}
(r^2+4)(r+2)-8-r^3=30
\end{equation}
\begin{equation}
r^3+2r^2+4r+8-8-r^3=30
\end{equation}
\begin{equation}
2r^2+4r=30
\end{equation}
\begin{equation}
r^2+2r-15=0
\end{equation}
\begin{equation}
(r-3)(r+5)=0
\end{equation}
\begin{equation}
r=3,-5
\end{equation}
ここでRは正の数であるから、$r=3$となります。
また、Rのy座標は放物線の式に代入して$y=3^2=9$
したがって、Rの座標は以下のとおりです。
\begin{equation}
R(3,9)
\end{equation}

（３）
四角形の面積を求めるにはそれぞれの頂点の座標がわかっていないと解けません。
今の時点では以下の３点がわかっています。
\begin{equation}
A(0,6)、B(-2,4)、Q(-2\sqrt{3},0)
\end{equation}
あとはDさえわかればいいので、Dの座標を求めていきましょう。
その前に、BRを通る式を求めます。この直線の式を$y=bx+c$とおき、BとRの座標を代入しましょう。
\begin{equation}
4=(-2)b+c‎ = -2b+c・・・③
\end{equation}
\begin{equation}
9=b×3+c‎ = 3b+c・・・④
\end{equation}
では連立方程式をときます。
③の式に④を代入してCを消します。
\begin{equation}
4=-2b+(9-3b)
\end{equation}
\begin{equation}
5b=5
\end{equation}
\begin{equation}
b=1
\end{equation}
さらに④にこの結果を代入するとcが出てきます。
\begin{equation}
9=3+c
\end{equation}
\begin{equation}
c=6
\end{equation}
よって直線BRの式は以下の通りです。
\begin{equation}
y=x+6
\end{equation}
ですので、Dの座標は以下になります。
\begin{equation}
D(-6,0)
\end{equation}
ここまでをグラフに表すと添付３のようになります。

これらの座標がわかれば、お求めたい四角形の面積は、分割して出しても、全体から引く考え方でもどちらでも解けます。
計算すると以下の通りです。
\begin{equation}
15-5\sqrt{3}
\end{equation}