関数の微分の式変形について

[ゲスト]

どうして赤の下線部みたいになったのですか

[ゲスト]

有利化をしていますね。
たとえば、以下のように分母にルートが含まれている式の場合、分母と分子に同じ数をかけて綺麗にしますよね。

\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{equation}

さらにもう少し複雑な式では、分母からルートを消すために反対の符号を分子と分母にかけて整理することもあります。
たとえばこのような式です。
\begin{equation}
\frac{1}{1+\sqrt{x}}=\frac{1\times(1-\sqrt{x})}{(1+\sqrt{x})\times(1-\sqrt{x})}=\frac{1-\sqrt{x}}{-x}
\end{equation}

今回も全く同じで、分母と分子にかけるものが符号が反対で少し長くなっているだけです。

\begin{equation}
\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1\times(x-\sqrt{x^2-1})}{(x+\sqrt{x^2-1})\times(x-\sqrt{x^2-1})}=\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x^2-(\sqrt{x^2-1})^2}
\end{equation}
\begin{equation}
=\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x^2-x^2+1}=x-\sqrt{x^2-1}
\end{equation}

ですので、下記のような式変形になっています。
\begin{equation}
y=x-\sqrt{x^2-1}
\end{equation}

添付いただいた解答は少しプロセスが飛んでいるのでわかりにくかったですね。