ベクトルの問題を教えてください

[ゲスト]

ベクトルの問題が苦手で、どうやって解いたらいいのかいつも迷ってしまいます。わかりやすく教えてください。

[ゲスト]

２０
この問題では、ベクトルの連立方程式を解いて、ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ を求めるという内容です。与えられているベクトルは以下の通りです。

$$
\vec{a} = (5, 0), \quad \vec{b} = (-2, 3)
$$

そして、以下の2つの式が与えられています。

$$
2\vec{x} + \vec{y} = \vec{a} \\
\vec{x} + 2\vec{y} = \vec{b}
$$

ベクトル同士の式は、x成分とy成分をそれぞれ別々に扱って計算していきます。
まず、$\vec{x} = (x_1, x_2), \vec{y} = (y_1, y_2)$ とおいて、それぞれの式を成分ごとに書き直します。



1つ目の式：

$$
2(x_1, x_2) + (y_1, y_2) = (5, 0)
\Rightarrow (2x_1 + y_1, 2x_2 + y_2) = (5, 0)
$$

2つ目の式：

$$
(x_1, x_2) + 2(y_1, y_2) = (-2, 3)
\Rightarrow (x_1 + 2y_1, x_2 + 2y_2) = (-2, 3)
$$

これをそれぞれ成分ごとに連立方程式として整理します。

x成分の式：

$$
2x_1 + y_1 = 5 \quad ...(1) \\
x_1 + 2y_1 = -2 \quad ...(2)
$$

y成分の式：

$$
2x_2 + y_2 = 0 \quad ...(3) \\
x_2 + 2y_2 = 3 \quad ...(4)
$$

まずは (1) と (2) を使って $x_1, y_1$ を解きます。

(1) を2倍すると：

$$
4x_1 + 2y_1 = 10
$$

これから (2) を引きます：

$$
(4x_1 + 2y_1) - (x_1 + 2y_1) = 10 - (-2) \\
3x_1 = 12 \Rightarrow x_1 = 4
$$

これを (1) に代入：

$$
2(4) + y_1 = 5 \Rightarrow 8 + y_1 = 5 \Rightarrow y_1 = -3
$$

次に (3) と (4) で $x_2, y_2$ を解きます。

(3) を2倍すると：

$$
4x_2 + 2y_2 = 0
$$

これから (4) を引くと：

$$
(4x_2 + 2y_2) - (x_2 + 2y_2) = 0 - 3 \\
3x_2 = -3 \Rightarrow x_2 = -1
$$

これを (3) に代入：

$$
2(-1) + y_2 = 0 \Rightarrow -2 + y_2 = 0 \Rightarrow y_2 = 2
$$

したがって、求めるベクトルは

$$
\vec{x} = (4, -1), \quad \vec{y} = (-3, 2)
$$

となります。ベクトルの式を成分ごとに分けて連立方程式に直せば、ふつうの方程式として解くことができます。

２１
21の問題は、平行四辺形の4つ目の頂点の座標を求める問題です。
与えられている3つの点は次の通りです：
\begin{equation}

A(−2, 2)、B(1, −3)、C(3, 0)

\end{equation}
この3点を頂点とする平行四辺形で、残りの1点Dの座標を求めます。

平行四辺形には、向かい合う辺が平行で長さも同じ、という性質があります。
今回はA、B、Cが与えられているので、図形の形を考えながら、どの順番で点が並んでいるかを推測します。

順番は A → B → C → D と並んでいると考えると、
ベクトル AB と CDが同じ、または
ベクトル AD と BCが同じ、
という関係が成り立ちます。

ここでは、AB と CD が等しいという性質を使って求めます。

まず、ベクトルABを求めます：

$$
\vec{AB} = B - A = (1 - (-2), -3 - 2) = (3, -5)
$$

平行四辺形の反対側の辺CDも同じベクトルになるので：

$$
\vec{CD} = \vec{AB} = (3, -5)
$$

CからDに向かってベクトル(3, -5)を進むとDに着きます。
つまり、点Cにベクトル(3, -5)を足せばDの座標が出ます。

$$
D = C + \vec{CD} = (3, 0) - (3, -5) = (0, 5)
$$

よって、点Dの座標は
(0, 5)になります。
図にすると添付１のようになります。

２２
次のベクトルが平行になるように、xの値を求める問題です。

$$
\vec{a} = (x, -1)、\quad \vec{b} = (2, -3)
$$

$$
\vec{a} + 3\vec{b} \quad \text{と} \quad \vec{b} - \vec{a} \quad \text{が平行}
$$

ベクトルが平行というのは、一方が他方の定数倍になっていることを意味します。
つまり、次のような関係が成り立ちます：

$$
\vec{a} + 3\vec{b} = k(\vec{b} - \vec{a})
$$

まず、それぞれのベクトルを計算します。

$$
\vec{a} + 3\vec{b} = (x, -1) + 3(2, -3) = (x + 6, -1 - 9) = (x + 6, -10)
$$

$$
\vec{b} - \vec{a} = (2, -3) - (x, -1) = (2 - x, -2)
$$

これらが平行なので、

$$
(x + 6, -10) = k(2 - x, -2)
$$

対応する成分ごとに比較して式を立てます。

$$
x + 6 = k(2 - x) \quad \text{(①)}
$$

$$
-10 = k(-2) \quad \text{(②)}
$$

②の式からkを求めます。

$$
k = \frac{-10}{-2} = 5
$$

これを①に代入します。

$$
x + 6 = 5(2 - x) = 10 - 5x
\Rightarrow x + 5x = 10 - 6
\Rightarrow 6x = 4
\Rightarrow x = \frac{2}{3}
$$

答えは
x = 2/3です。