逆行列について

[ゲスト]

この２つの逆行列の求め方を教えてください。
途中式も書いてくださると助かります！

[ゲスト]

XA=Eを満たすXがAの逆行列になりますので、
そのようなXを求めればよいです。
行列の分割を使うとよいと思います。

(2)
A=
(a b)
(d e),
v=
(c)
(f)
とおき、行列の分割
(A v)
(0 g)
を考える。（0は零ベクトル）

(E 0)
(0 1/g)
×
(A v)
(0 g)
=
(A v)
(0 1)

(E -v)
(0 1)
×
(A v)
(0 1)
=
(A 0)
(0 1)

(A^{-1} 0)
(0 1)
×
(A 0)
(0 1)
=
(E 0)
(0 1)

したがって、
(A v)^{-1}
(0 g)
=
(A^{-1} 0)
(0 1)
×
(E -v)
(0 1)
×
(E 0)
(0 1/g)
=
(A^{-1} -(1/g)A^{-1}v)
(0 1/g)

A^{-1}
=
1/(ae-bd)
(e -b)
(-d a)
より、

(a b c)^{-1}
(d e f)
(0 0 g)
=
(e/(ae-bd) -b/(ae-bd) -(ce-bf)/{g(ae-bd)})
(-d/(ae-bd) a/(ae-bd) -(-cd+af)/{g(ae-bd)})
(0 0 1/g)


(3)
A=
(b c)
(e f),
v=
(a)
(d)
とおき、行列の分割
(v A)
(g 0)
を考える。（0は零ベクトル）

(0 1)
(E 0)
×
(v A)
(g 0)
=
(g 0)
(v A)

(1/g 0)
(0 E)
×
(g 0)
(v A)
=
(1 0)
(v A)

(1 0)
(-v E)
×
(1 0)
(v A)
=
(1 0)
(0 A)

(1 0)
(0 A^{-1})
×
(1 0)
(0 A)
=
(1 0)
(0 E)

したがって、
(v A)^{-1}
(g 0)
=
(1 0)
(0 A^{-1})
×
(1 0)
(-v E)
×
(1/g 0)
(0 E)
×
(0 1)
(E 0)
=
(0 1/g)
(A^{-1} -(1/g)A^{-1}v)

A^{-1}
=
1/(bf-ce)
(f -c)
(-e b)
より、

(a b c)^{-1}
(d e f)
(g 0 0)
=
(0 0 1/g)
(f/(bf-ce) -c/(bf-ce) -(af-cd)/{g(bf-ce)})
(-e/(bf-ce) b/(bf-ce) -(-ae+bd)/{g(bf-ce)})