絶対値付きの関数について

[ゲスト]

絶対値がある関数がいまいちよく分かりません。

たとえばy=||x-1|-2| のグラフはどんな形になるんですか？？

[ゲスト]

すみません、この２問もお願いします。

[ゲスト]

絶対値がつく関数や方程式の問題では、原則「場合分け」をして解きます。
まずは復習ですが、以下の絶対値の特徴を見てみましょう。
\begin{equation}
|2|=2, |-2|=2
\end{equation}
絶対値の中身がプラスであろうとマイナスであろうと、必ず答えはプラスになります。
つまり、一般的に文字で表すと以下のようになります。
\begin{equation}
|x|の値は、x≧0のときx、x<0のとき-x
\end{equation}
ですので、絶対値の中身がプラスならそのまま絶対値の中の数字が答えになり、
絶対値の中身がマイナスなら、絶対値の中の数字にマイナスをかけて、プラスにする必要があります。

少し応用して、下記のような単純な絶対値つき関数を見てください。

\begin{equation}
y=|x-1|
\end{equation}

これを解くにも上記と同じ考え方です。つまり、絶対値の中身がプラスかマイナスかで場合分けするのです。
\begin{equation}
x-1≧0のとき、つまりx≧1のときは絶対値の中がプラスだから、y=x-1
\end{equation}

\begin{equation}
x-1<0のとき、つまりx<1のときは絶対値の中がマイナスだから、y=-(x-1)=-x+1
\end{equation}

これをグラフにすると添付１のようになります。

それでは問題文を見ていきましょう。
ここでの関数は以下のとおりです。
\begin{equation}
y=||x-1|-2|
\end{equation}
絶対値が2個ついていても、地道に場合分けするしかありません。
２個以上絶対値がつく時は、一番中から場合分けしていくとうまくいくことが多いです。

\begin{equation}
x-1≧0のとき、つまりx≧1のとき、y=|x-1-2|=|x-3|
\end{equation}
\begin{equation}
x≧1でかつ、x-3≧0のとき、つまりx≧3のとき、y=x-3・・・①
\end{equation}
\begin{equation}
x≧1でかつ、x-3<0のとき、つまり1≦x<3のとき、y=-(x-3)=-x+3・・・②
\end{equation}

ここまでで、x≧1のパターンが終わりました。
続いて、一番中の絶対値の中身がマイナスのケースを場合分けしていきます。

\begin{equation}
x-1<0のとき、つまりx<1のとき、y=|-(x-1)-2|=|-x-1|
\end{equation}
\begin{equation}
x<1でかつ、-x-1<0のとき、つまり-1<x<1のとき、y=-(-x-1)=x+1・・・③
\end{equation}
\begin{equation}
x<1でかつ、-x-1≧0のとき、つまりx≦-1のとき、y=-x-1・・・④
\end{equation}

よって、①〜④を合わせると添付２のようになります。

また、追加で質問いただいた絶対値付きの方程式と不等式についても見ていきましょう。

【方程式の問題】
\begin{equation}
|x+1|+|x-3|=6
\end{equation}
これも上記と同様に場合分けしていきます。

①
x+1>0かつx-3>0のとき、つまりx>3のとき
\begin{equation}
x+1+x-3=6
\end{equation}
\begin{equation}
2x=8
\end{equation}
\begin{equation}
x=4
\end{equation}
②
x+1>0かつx-3≦0のとき、つまり-1<x≦3のとき
\begin{equation}
x+1-(x-3)=6
\end{equation}
xが消えてしまったので解なし

③
x+1≦0かつx-3>0のとき
\begin{equation}
-(x+1)+x-3=6
\end{equation}
これもxが消えてしまったので解なし

④x+1≦0かつx-3≦0のとき、つまりx≦-1のとき
\begin{equation}
-(x+1)-(x-3)=6
\end{equation}
\begin{equation}
-2x=4
\end{equation}
\begin{equation}
x=-2
\end{equation}

よって答えは以下のとおりです。
\begin{equation}
x=4,-2
\end{equation}

【不等式の問題】
\begin{equation}
|2x+1|≦|2x-1|+x
\end{equation}
これも場合分けして解いていきます。不等号がたくさん出てくるので注意しましょう。

①
2x+1>0かつ2x-1>0のとき、つまりx>1/2のとき
\begin{equation}
2x+1≦2x-1+x
\end{equation}
\begin{equation}
x≧2
\end{equation}
②
2x+1>0かつ2x-1≦0のとき、つまり-1/2<x≦1/2のとき
\begin{equation}
2x+1≦-(2x-1)+x
\end{equation}
\begin{equation}
3x+1≦1
\end{equation}
\begin{equation}
x≦0
\end{equation}
よって-1/2<x≦0

③
2x+1≦0かつ2x-1≧0のとき、つまりx ≦-1/2、x ≧1/2のとき
\begin{equation}
-(2x+1)≦2x-1+x
\end{equation}
\begin{equation}
-5x-1≦-1
\end{equation}
\begin{equation}
x≧0
\end{equation}
よってx ≧1/2

④
2x+1≦0かつ2x-1≦0のとき、つまりx ≦-1/2のとき
\begin{equation}
-(2x+1)≦-(2x-1)+x
\end{equation}
\begin{equation}
-2x-1≦-2x+1+x
\end{equation}
\begin{equation}
x≧-2
\end{equation}
よって-2≦x≦-1/2

①〜④より、不等式の範囲を図にすると添付３のようになります。

したがって、解となる範囲は-2≦x≦0, 1/2≦x