漸化式の一般式を数学的帰納法で証明する問題について

[ゲスト]

高校数学で、予想した漸化式の一般式を数学的帰納法で証明して求める問題があると思いますが、それにどうしても納得できません。
確かに、予想して証明した式はその漸化式の一般式として合っていますが、証明した一般式以外に、その漸化式の一般式が存在しないことは示さなくてよいのですか？
「一般式を求めよ」という問題で、いくつか解がある可能性があるのにその可能性を示さないのは不十分だと思います。

[ゲスト]

方程式の解は全て示さないといけないのにという感じなように、ということですよね。というより、私がそう思いました。

おそらくですが、

解がありすぎるのが問題なのだとおもいます。
一般式に、整数をいれたら１になる関数をかけたり０になる関数を足したりして一般式になるのは自明ですし、
(-1)^nとcos(πn)が一致したり、
探せば探すほどでてきます。
これら全部をまとめた式を探すのは難しいですし、私は知りません

そもそも漸化式の一般式は複数個あってもほとんど問題がないのです
二次方程式などでは両方の解をださないと、金額が負になったりおかしなことが生まれてしまいますが、
漸化式の一般式は整数だけでみると、どれも本質的に同じなのでどれを使っても大丈夫なのです

ちなみに数学ガールで出てきた、微分に対応した「差分」
に対応した一般式が多いので、そういう理由もあるのかもしれません