軌跡の問題がわかりません

[ゲスト]

写真の２つの問題について教えてください。

どちらも教科書などを読んでもどうやって解いたらいいか分からず困っています。

答えと解き方を教えていただきたいです。

[ゲスト]

軌跡の問題では、対象となる座標のx座標とy座標をそれぞれ文字で表すことが必要です。
もし軌跡問書いていなくても、

「点はどんな動きをするか？」
「点はどんな図形を描くか？」といった聞き方も軌跡の問題です。

文字で表すというのは、この問題だとmのことです。
おおまかな方針としては頂点のx座標とy座標をそれぞれmを使って表し、最終的にmを消してxとyだけの式で表すことになります。軌跡というのは関数です。

【１問目】
mx-y=0とx+my-4=0の交点をmを使って表してみましょう。
mx-y=0にx+my-4=0を代入するとyの値は下記のようになります。
\begin{equation}
m(4-my)-y=0
\end{equation}
\begin{equation}
4m-m^2y-y=0
\end{equation}
\begin{equation}
4m-(m^2+1)y=0
\end{equation}
\begin{equation}
(m^2+1)y=4m
\end{equation}
\begin{equation}
m^2+1≠0であるから　y=\frac{4m}{(m^2+1)}
\end{equation}

次にxの値は下記のようになります。
\begin{equation}
mx-y=0よりm≠0のときx=\frac{y}{m}
\end{equation}
yの値を代入して
\begin{equation}
x=\frac{4m}{(m^2+1)}\frac{1}{m}
\end{equation}
\begin{equation}
x=\frac{4}{(m^2+1)}
\end{equation}
よって、交点の座標は以下のとおりです。
\begin{equation}
(x,y)=(\frac{4}{(m^2+1)},\frac{4m}{(m^2+1)})
\end{equation}
ここからが軌跡特有の考え方で、mをうまく消してxとyだけの式にしてみます。
x≠0のとき・・・①
\begin{equation}
x=\frac{4}{(m^2+1)}よりm^2+1=\frac{4}{x}
\end{equation}
また、問題文からmx-y=0であるので、
\begin{equation}
m=\frac{y}{x}
\end{equation}
よってこれを先ほどの式に代入すると
\begin{equation}
\frac{y^2}{x^2}+1=\frac{4}{x}
\end{equation}
\begin{equation}
y^2+x^2=4x
\end{equation}
\begin{equation}
(x-2)^2+ y^2=4
\end{equation}

したがって中心（2,0）、半径2の円が答えになります。
ただしx=0,y=0の点は除きます。（①で除外していますので）
なお、図にすると添付１のような円です。

【２問目】
文字ばかりでイメージしにくいですが、この関数は添付２のような直線になります。
ただ、mが負の数だと右下がりのグラフになるので、図はあくまで一例です。
この問題のポイントはmが変化するときの領域です。つまりmを変数のように見ているのです。

まずは問題文の式を変形してみましょう。
\begin{equation}
y=2mx-m^2+1
\end{equation}
\begin{equation}
m^2-2xm+y-1=0
\end{equation}

なぜこのような形にしたかというと、mを変数のようにみて、なおかつmが実数であるという条件を使いたいからです。
ここで思い出してもらいたいのが「判別式」です。mが実数の範囲なら、判別式は0以上になります。
\begin{equation}
判別式D=(-2x)^2-4・1・(y-1)
\end{equation}
\begin{equation}
判別式D=4x^2-4y+4\geqq0
\end{equation}
\begin{equation}
x^2-y+1\geqq0
\end{equation}
\begin{equation}
y\leqq x^2+1
\end{equation}
よって領域としては添付３のようになります。

mをあたかも変数のように見て判別式を使えるようにしましょう。