命題論理・述語論理に関する質問です

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命題論理・述語論理に関する質問です。
以下の問題の答えは分かっているのですが、いまいち「∃, ∀」この2つの記号の意味が理解できておらず、なぜそのような解答になるのかが分からないので、どなたか分かりやすく教えていただきたいです。

問. Q (x, y): x^2 = y^3
x と y のドメインが実数である場合、以下の命題の真理値は何でしょうか。

(1) ∀x∀y Q(x, y): False
(2) ∀x∃y Q(x, y): True
(3) ∃x∀y Q(x, y): False
(4) ∃x∃y Q(x, y): True

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こうした論理式は左から順にみていく。
(1),(2)は、∀xP(x)の形。xにどんな実数を代入しても条件（述語）P(x)を満たす、ということ。
(3),(4)は、∃xR(x)の形。R(x)という条件（述語）を満たす実数xがある、ということ。

(1)ならP(x)の内容が、∀y Q(x, y), つまり、∀y x^$2=y^3$ ということ。
仮にx=1 とすると、P(x)は、∀y $1=y^3、$つまり、 yがどんな実数でも $y^3=1$ ということ。
こうしたことが、x=1に限らず、すべての実数xで成立すれば真、そうでなければ偽。

(2)なら、P(x)の内容は∃y Q(x, y), つまり、∃y x$^2=y^3$ ということ。
仮にx=1とすると、、P(x)は∃y 1$=y^3$ つまり、$y^3=1$となるyがある、ということ。
こうしたことがx=1に限らずすべての実数xについて言えれば真、そうでなければ偽。

(3)なら、R(x)の内容が∀y Q(x, y), つまり、∀y x$^2=y^3$ ということ。
仮にx=1とすると、R(x)は∀y 1$=y^3$、つまり、 yがどんな実数でも $y^3=1 $ということ。
x=1でOKなら真。ダメなら他のすべての実数xを試してみて、全滅するなら、偽、なにかのxで成立するなら真。

(4)なら、R(x)の内容が∃y Q(x, y), つまり、∃y x$^2=y^3$ ということ。
仮にx=1とすると、、R(x)は∃y 1$=y^3$ つまり、$y^3=1$となるyがある、ということ。
x=1でOKなら真、。ダメなら他のすべての実数xを試してみて、全滅するなら、偽、なにかのxで成立するなら真。