二次関数の問題

[ゲスト]

高校数学の質問です。
二次関数の問題で
・次の関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。
y=x^2+3x+3 (0<x≦2)
の答えで
最大値(2.13)最小値はない。
となってるんですが、なぜ最小値がないんですか？a>0のときは最大値は無いんじゃないんですか？
分かる方ご回答の方よろしくお願いします！

[ゲスト]

グラフは頂点の座標($-\frac{3}{2},\frac{3}{4}$)、下に凸の放物線となります。
与えられた変域が$0<x\leqq2$なので、変域の中だけグラフを見てみましょう。パッと見では左端$x=0$のときに最小値をとるようにみえますが、そこの不等号は$<$なので$x=0$上の点は値をとりません。よって最小値は「なし」となります。

[ゲスト]

この問題を例に解説していきます。
まずはこの関数を平方完成してグラフを書いてみましょう。
\begin{equation}
y=x^2+3x+3
\end{equation}
\begin{equation}
y=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+3
\end{equation}
\begin{equation}
y=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}
\end{equation}
ですので、この関数は軸x=-3/2のとき頂点y=3/4を通る下に凸であることがわかります。添付１をご覧ください。

ここで問題文からxの範囲は下記の通りです。
\begin{equation}
0<x≦2
\end{equation}

ちなみに、x=0のときy=3、x=2のときy=13です。
これを先ほどのグラフに重ねると、添付２のようになります。

ここで、素直に考えると下記のように考えてしまいますよね。
\begin{equation}
最大値：（x,y）=(2,13)
\end{equation}

\begin{equation}
最小値：（x,y）=(0,3)
\end{equation}

しかし、これは不正解です。なぜなら、xは0を「含まない」からです。
先ほどのxの範囲をよく見ると、0<xとなっていますよね。

これは「xは0を含まず、0より大きい」ことを意味しています。

ですので、最小の値はxが0に限りなく近い値で取る、ということになりますが、それは求められません。

ですので、最小値はなし、というのが答えになります。

ちなみに、もし不等式を反映したグラフを書けという問題があるとき、添付３のように白丸と黒丸を使い分けてください。
白丸はその値を含めない、黒丸はその値を含むということになります。