素数についての文章問題

[ゲスト]

相異なる3つの素数がある。
これらの素数同士の差(大きい方の素数から小さい方の素数を引いた数)もまた全て素数になるという。
①そのうちの1つは2であることを示してください。
②3は不適であることを示してください。
③上記の条件を満たす組を求めてください。

[ゲスト]

①
2以外の素数は全て奇数だから、2以外の素数3つの差はそれぞれ偶数。
相異なる奇素数を3つとったとき、最大の素数と最小の素数の差は4以上の偶数になるから不適。よって３つの素数のうちの1つは2である。

②
３つのうち１つは2である。3が含まれていると、3と2の差は１で素数ではないから不適。よって、3は不適。

③
３つの素数のうち１つは2だから、３つの素数を2,p,q（p<q、p≠3）とする。
q-pは素数かつ偶数だから、q-p=2。よって、q=p+2
p,qは素数だからいずれも3の倍数ではない。
p,qの差は2だから、nを整数として、p=3n-1、q=3n+1とかける。
p-2=3(n-1)も素数だから、p-2=3より、p=5,q=7
よって、この条件を満たす組は(2,5,7)のみ。