基本問題と書かれてあったのですが、最初から教えていただきたいです。
aを定数とする二次曲線、2x^2+y^2+2ax-2ay+a-1=0について以下の設問に答えよ。
（１）この二次曲線はどのようなaに対しても常に楕円を表すことを示せ。
（２）長軸の長さを√6とするとき、この楕円の中心の座標、焦点の座標、および単軸の長さを求めよ。ただしa>0とする。
（３）この二次曲線はaがどのような値であっても2つの定点を通る。この2定点の座標を求めよ。
最初からお願いします。
曲線の基本的な問題について
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ゲスト
Re: 曲線の基本的な問題について
まずは正確に平方完成できるようにしましょう。
\begin{align}
2x^2+y^y+2ax-2ay+a-1 &=0 …①\\
2( x+\frac{a}{2})^2+(y-a)^2 &=\frac{3}{2}a^2-a+1 …②\\
\end{align}
$k=\frac{3}{2}a^2-a+1$とおくと、$k=\frac{3}{2}\left(a-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{5}{6}>0$
であり、②は
$ \cfrac{ (x+\cfrac{a}{2})^2 }{\cfrac{1}{2}k}+\frac{(y-a)^2}{k}=1 $となる。
これは、中心の座標が$(-\frac{a}{2},a)$、短半径$\sqrt\frac{k}{2}$、長半径$\sqrt{k}$の楕円となります。
\begin{align}
2x^2+y^y+2ax-2ay+a-1 &=0 …①\\
2( x+\frac{a}{2})^2+(y-a)^2 &=\frac{3}{2}a^2-a+1 …②\\
\end{align}
$k=\frac{3}{2}a^2-a+1$とおくと、$k=\frac{3}{2}\left(a-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{5}{6}>0$
であり、②は
$ \cfrac{ (x+\cfrac{a}{2})^2 }{\cfrac{1}{2}k}+\frac{(y-a)^2}{k}=1 $となる。
これは、中心の座標が$(-\frac{a}{2},a)$、短半径$\sqrt\frac{k}{2}$、長半径$\sqrt{k}$の楕円となります。
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ゲスト
Re: 曲線の基本的な問題について
(2)
長軸の長さは$\sqrt{6}$なので
\begin{align}
2\sqrt{k} &=\sqrt{6}\\
k &=\frac{3}{2}\\
\end{align}
$k=\frac{3}{2}a^2-a+1$とおいたので、
\begin{align}
\frac{3}{2}a^2-a+1 &=\frac{3}{2}\\
3a^2-2a-1 &=0\\
(3a+1)(a-a) &=0\\
a>0よりa=1
\end{align}
楕円の中心は$(-\frac{1}{2},1)$、焦点の座標は$(-\frac{1}{2},1±\sqrt{\frac{k}{2}})=(-\frac{1}{2},1±\frac{\sqrt{k}}{2})$
単軸の長さは$2\sqrt{\frac{k}{2}}=\sqrt{3}$
長軸の長さは$\sqrt{6}$なので
\begin{align}
2\sqrt{k} &=\sqrt{6}\\
k &=\frac{3}{2}\\
\end{align}
$k=\frac{3}{2}a^2-a+1$とおいたので、
\begin{align}
\frac{3}{2}a^2-a+1 &=\frac{3}{2}\\
3a^2-2a-1 &=0\\
(3a+1)(a-a) &=0\\
a>0よりa=1
\end{align}
楕円の中心は$(-\frac{1}{2},1)$、焦点の座標は$(-\frac{1}{2},1±\sqrt{\frac{k}{2}})=(-\frac{1}{2},1±\frac{\sqrt{k}}{2})$
単軸の長さは$2\sqrt{\frac{k}{2}}=\sqrt{3}$