数Iの、絶対値を含む不等式の問題です。aを定数とする不等式
||x - a| - a|≦1 を解け。
の、考え方を教えてください。
2重の絶対値の不等式の問題
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Re: 2重の絶対値の不等式の問題
||x - a| - a|≦1
外側の絶対値記号を外して、
-1≦|x-a|-a≦1
a-1≦|x-a|≦a+1
次に、xとaの大小関係で、絶対値記号を外す、
1
x≧a,,,,,,,a≦xの時、
a-1≦x-a≦a+1
2a-1≦x≦2a+1,,,,①
a, 2a-1, 2a+1の大小関係を考える。
a≦x,,,,②との関係より、
a≦2a-1,,,,,,,1≦aの時、①②の共通範囲は、2a-1≦x≦2a+1
2a-1<a≦2a+1,,,,,-1≦a<1の時、①②の共通範囲は、a≦x≦2a+1
2a+1<a,,,,,a<-1の時、共有範囲がないので、解なし
2
x<a,,,,,の時
a-1≦-x+a≦a+1
-1≦x≦1,,,,,,③
x<a,,,,④との関係より、
a<-1の時、共有範囲がないので、解なし
-1≦a<1の時、③④の共有範囲は、-1≦x<a
1≦aの時、③④の共有範囲は、-1≦x≦1
以上、まとめて、
1≦aの時、-1≦x≦1, 2a-1≦x≦2a+1
-1≦a<1の時、-1≦x<aとa≦x≦2a+1の和より、-1≦x≦2a+1
a<-1の時、解なし。
外側の絶対値記号を外して、
-1≦|x-a|-a≦1
a-1≦|x-a|≦a+1
次に、xとaの大小関係で、絶対値記号を外す、
1
x≧a,,,,,,,a≦xの時、
a-1≦x-a≦a+1
2a-1≦x≦2a+1,,,,①
a, 2a-1, 2a+1の大小関係を考える。
a≦x,,,,②との関係より、
a≦2a-1,,,,,,,1≦aの時、①②の共通範囲は、2a-1≦x≦2a+1
2a-1<a≦2a+1,,,,,-1≦a<1の時、①②の共通範囲は、a≦x≦2a+1
2a+1<a,,,,,a<-1の時、共有範囲がないので、解なし
2
x<a,,,,,の時
a-1≦-x+a≦a+1
-1≦x≦1,,,,,,③
x<a,,,,④との関係より、
a<-1の時、共有範囲がないので、解なし
-1≦a<1の時、③④の共有範囲は、-1≦x<a
1≦aの時、③④の共有範囲は、-1≦x≦1
以上、まとめて、
1≦aの時、-1≦x≦1, 2a-1≦x≦2a+1
-1≦a<1の時、-1≦x<aとa≦x≦2a+1の和より、-1≦x≦2a+1
a<-1の時、解なし。