関数と方程式について

[ゲスト]

関数と方程式の違いについて質問させてください。私のこれまでの認識では
関数(1変数)･･･任意のxに対して、ただ1つのyが返される式
方程式･･･未知の変数を含む式
という認識でした。
「方程式は一次方程式や二次方程式など例を挙げるとわかるようにいわゆる解を持ちます
方程式を解くことを解を求めるといいますね
この解は有限であるとも捉えられます。
ただ関数はy=x+のように
"ある値を与えたらとある値をかえすもの"です
ある値は無限にありますね」
と回答されていました。

ですが円の方程式のような2元以上の方程式では連立でもしない限り、(x, y)の組は無限に存在しますよね？そもそも関数は独自変数と従属変数を有する特殊な2元方程式という風にも解釈出来ますし、方程式が関数を内包している時点でこの2つが相反するものとは言えないと思います。

ということで、お聞きしたいのですが上の解説は間違っているという事でよろしいのでしょうか？

[ゲスト]

見方にもよるところだとは思いますが、方程式と関数は普通ある程度明確に区別されるものだと思います。
おおよそ質問サイトの回答として挙げられた通り、方程式は等式であって変数が特定の値の場合に成立するようなもののことを言います。ここでいう特定の値とは有限個である必要はなく、それゆえに円の方程式のように無数に値の組が存在することもあります。
一方関数とは独立変数の値を1通り決めた際にそれに依存する変数の値が1つに定まるもののことを言います。質問者さんは2元方程式とおっしゃっていますが、一般に変数の種類は多数になってもよく、3変数以上の関数も存在します。
方程式が関数を内包するとのことですが、確かに方程式をある変数について解いたときにそれが他の変数の関数とみなせるような状況は多くあります。例えばx+y=1という方程式なら、y=-x+1とすることでyはxの関数とみることができます。しかし、中にはある変数について解いたときに値が一意に定まらないものもあります。円の方程式がその一例ですね。このようなものは陰関数と呼ばれることもありますが、関数に内包されているとまでは言えないように思います。
長くなりましたがまとめると、質問サイトの回答は値の有限•無限で両者を区別していますが、実際はそこが両者を分けるポイントではないという点で完全に正しいとまでは言えませんが、全面的に誤っているとも言えないとも思います。
ご参考までに