余弦定理の利用について

[ゲスト]

問題
四角形ABCDが円に内接し、AB＝6、BC=5、CD＝５、DA＝３のとき、ACの長さを求めよ。

問題に図が書いていない場合、どうすれば良いか分からなくなります。図の書き方と解き方を教えてください。

[ゲスト]

図がなくて困る気持ちはとても分かりますが、とにかく書く！しかないので、練習をしましょう。
で、上手に書く必要もないので、本当にとにかく書いて、修正しながら考えていけばよいのですよ。
参考図を添付します。

図の状況が想像できたら、求めたいACの長さのためには何の材料が必要かを考えていきましょう。
他の辺の長さがだいたいわかっているので(もしくは問題に「余弦定理の利用」などと書いているなら)余弦定理を使おうと材料集めに入りましょう。
ACも含めてで、いったん式を立てちゃおうとすると案外さっさと解決したりもします。

⊿ABCにおいて、
\[
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2・AB・BC・cosB ・・・①
\]
⊿ACDにおいて、
\[
AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2・AD・CD・cosD ・・・②
\]
ここで、
\[
cosD=cos(180°-B)=-cosB
\]
したがって
\[
AB^{2}+BC^{2}-2・AB・BC・cosB=AD^{2}+CD^{2}+2・AD・CD・cosB
\]
これを解くと　$cosB=\frac{3}{10}$
これを余弦定理の式へ代入(①②どちらの式を利用しても良い)
\[
AC=\sqrt{43}
\]