文字が含まれる二次方程式について

[ゲスト]

〖xについての方程式2(k-1)x²+2(k+3)x+k+6の実数解がただ1つであるような定数kの値を求めよ。またそのときの実数解を求めよ。〗
という問題が分からないのですが、
解答では初めにk-1=0と置いていて
最高次の係数が文字のときは、0かどうかで場合分けする。と書いてあったのですがどうして0かどうかで場合分けするのですか？
かなり詳しく教えて欲しいです。お願いします。

[ゲスト]

問題文のどこにも「２次方程式」とは書かれていません。
なので、１次方程式の可能性がありますが、１次方程式は
直線のグラフなので、x軸とかならず１点だけで交わります。
なので、１次方程式の場合、「次数解がただ１つだけ」という
条件に当てはまるので、２次の係数＝0、の場合を特別に
考える必要があるのです。

２次の係数が0でなければ、そのときは、実数解が1つだけ、というのは
重解の場合しかありません。
なので、２つに分けて考えます。

まず、１次方程式の場合、
2(k－1)＝0、なので、k＝1
このとき元の式は、8x＋7＝0、となるので、x＝－7/8

次に2(k－1)≠0、すなわち、k≠1、のとき、
判別式＝0、のときなので、
$D/4＝(k＋3)^2－2(k－1)(k+6)$＝0、より、
$k^2＋6k＋9－2(k^2＋5k－6)＝0$
$k^2＋6k＋9－2k^2－10k＋12＝0$
$－k^2－4k＋21＝0$
$k^2＋4k－21＝0$
(k＋7)(k－3)＝0
k＝－7、3

k＝－7、のとき、
$－16x^2－8x－1＝0$
$16x^2＋8x＋1＝0$
$(4x＋1)^2＝0$
x＝－1/4

k＝3、のとき、
$4x^2＋12x＋9＝0$
$(2x＋3)^2＝0$
x＝－3/2

[ゲスト]

丁寧に教えてくださってありがとうございます。とても分かりやすいです。
1つだけ教えて頂きたいのですが、
2次の係数=0にするということはつまり
2(k-1)x²の部分を消して2(k+3)x+k+6という1次方程式にしたい
という解釈で合っていますでしょうか？

[ゲスト]

はい、そういうことです。
問題文のどこにも、２次の項が存在する、とは書いていないので、
消してしまって、無くなるケースも想定する必要があるのです。

ちなみに、1次の項は無くなっても、２次の項だけあれば
２次方程式ですので、１次の項が無くても問題はありません。
この問題では起こりえませんが、2次の項も１次の項も同時に
どちらもなくなるケースも、実はあり得て、それに関する
問題も別にはあります。