文字式の計算について確認したいです

[ゲスト]

答えは、a=0かつb=c または、b=0かつa=cとなっているのですが、私のは何が違いますか？

[ゲスト]

a,b,c ≧ 0
a + b ≧ c
のとき
a/(1 + a) + b/(1 + b) ≧ c/(1 + c) …(#1)
が成り立つ事を示せ、と言う問題における等号成立条件を
考えている訳ですね。と推測させていただきます

等号成立時の式が正しく展開されていない様です。正しくは
abc + 2ab + a + b - c = 0
となるはずで、これをcについて整理すると
c(ab - 1) = -(a + b + 2ab)
c = (a + b + 2ab)/(1 - ab) …(#1)
となり、 a + b + 2ab が非負である事からcが非負になるためには
分母の1 - abが正となる必要があります。
そして a + b ≧ c が条件として与えられているので(#1)より
a + b ≧ (a + b + 2ab)/(1 - ab)
ここで1 - abは正なので両辺にかけると
(a + b)(1 - ab) ≧ a + b + 2ab
a + b -$ a^2b $-$ ab^2$ ≧ 2ab + a + b
-ab(a + b) ≧ 2ab
-ab(a + b + 2) ≧ 0
ab(a + b + 2) ≦ 0
となります。a,bは非負なのでこれが成り立つのは左辺が0
すなわち ab = 0 の時です。(#1)を使えば答えは
a = 0 の時 c = (0 + b + 0)/(1 - 0) = b
b = 0 の時 c = (a + 0 + 0)/(1 - 0) = a
となります。