軌跡・領域の領域の問題について質問です

[ゲスト]

軌跡・領域の領域の問題について質問です
というよりも二次関数の最大・最小の問題についての質問だと思いますが
私の書いた場合分けと解答の場合分けが食い違ってしまい混乱しています
以下の場合分けで間違っているところを指摘していただきたいです

(問) kが-1≦k≦0の範囲を動くとき、
直線l:y＝(2k+1)x-k^2-kの通過領域を図示せよ

順像法で解きました
x＝Ｘと固定すると
y＝-k^2+(2X-1)k+X
平方完成すると、頂点（2X-1/2, X^2+1/4）
ⅰ）0≦2X-1/2 つまり 1/2≦Xのとき
最大値 k＝0で X
最小値 k＝-1で -X
よって値域は、-X≦y≦X

ⅱ）-1/2<2X-1/2≦0 つまり 0<X≦1/2のとき
最大値 k＝2X-1/2 でX^2+1/4
最小値 k＝-1で -X
よって値域は、-X≦y≦X^2+1/4

ⅲ）2X-1/2 ＝-1/2つまり X＝0のとき
最大値 k＝-1/2で 1/4
最小値 k＝ -1,0で 0
よって値域は、0≦y≦1/4

ⅳ）-1≦ 2X-1/2< -1/2
つまり -1/2≦X<0のとき
最大値 k＝2X-1/2で X^2+1/4
最小値 k＝0で X
よって値域は、X≦y≦X^2+1/4

ⅴ）2X-1/2≦-1 つまり X≦-1/2のとき
最大値 k＝-1で -X
最小値 k＝0で X
よって値域は、X≦y≦-X

[ゲスト]

場合分けはあってそうですよ。解答があってるんならいいと思います。ちなみに関数の場合分けは重複していてもOKです。
例: 「a≦0とa≧0で場合分けする」でもいいと思いますね。

[ゲスト]

軸である直線k＝2X-1/2を以下では
k＝aとして簡略化のため表します

場合分けの際　0≦a, -1/2<a≦0,
a＝-1/2, -1≦a<-1/2, a≦-1の5つに
場合分けしましたが
解答では
a≦-1, -1<a≦-1/2, -1/2<a≦0, 0<a
の4つに場合分けされていました
2つ目の場合で
-1<a≦-1/2になっている理由がわかりません。この場合軸より右に定義域の真ん中の値が存在するはずなのでイコールを付けてはいけない気がするんですが、なぜこれで良いのでしょうか
イコールがついたら
軸のk座標と定義域の真ん中の値が一致するときも考えていることになるので、最大値・最小値を取るときのkの値が変わってしまうじゃないですか
この理由がどうしてもわかりません

最大値・最小値を取るときのkの値に着目する必要がないから（ⅱ）と（ⅲ）または（ⅲ）と（ⅳ）をまとめて良いということでしょうか

だとすれば
全部にイコール付けても問題ないと思うのですが

つまりa≦-1,-1≦a≦-1/2,-1/2≦a≦0,0≦aの4つにしても問題ないですか？

[ゲスト]

全部にイコールをつけてもいいです。場合分けの端点の値は同じなので。

[ゲスト]

具体的には、
場合分けをする際は
連続した場合分けかつ共通部分を含まないように場合分けしなければならないということらしいです
その方も「個人的にはそれでいいと思います」と仰っていましたので
あくまで、記述上の注意点だと思います

減点されずに確実に点を取るなら
どのような場合分けが良いのでしょうか。また、減点される場合どのくらい引かれるのか概数で教えて頂きたいです

[ゲスト]

数学的には網羅されていればよいです。進研模試とかだとよくわかんないですが、大学の教授が採点する入試では大丈夫なはずです。

大学入試での数学での点数の付け方は数学的に正しいかどうかです。2022年の北海道大学の第1問でも駿台や河合塾などの解答は重複した場合分けを行っていました。

[ゲスト]

わかりました

あと1つだけ領域問題で厄介なのが
境界線を含むか含まないかの問題で
場合分けのイコールを含む含まないで
図示したとき、模範解答と食い違いが出てくるのですが
これは、何に問題があるのでしょうか

念のため
xy平面に以下の4つを合わせた領域がどのようになるかも教えていただけると助かります

y＞-2x+2かつy＜2x+2(x≧1)
y≧-x^2+1かつy＜2x+2(0＜x＜1)
y≧-x^2+1かつy＜-2x+2(-1＜x≦0)
y＞2x+2かつy＜-2x+2(x≦-1)

[ゲスト]

領域の問題で図示した時に解答と差が出るのは場合分け以外のミスではないでしょうか。ご確認をお願いします。