三角関数の基本について

[ゲスト]

高校数学について質問です。

三角比でsin,cos,tanってあるじゃないですか。
これって90度が無くても三角形であれば使えるんですか？
最初は「90度がある時使える」と教わったのに単元を跨ぐごとにいろんな場所で使うようになってわからなくなりました。

[ゲスト]

サイン、コサイン、タンジェントの定義は各々単位円上任意の点のx座標、y座標、その点と原点を結んで得られる直線の傾きです。(この定義から明らかに相互関係(sin^2+cos^2=1など)が成り立ちます。)
また、関数の定義はある未知数が、別の未知数よ値が定まることで一意に定まるような数であることです。

まず以上のことから、単位円上の任意の角度θにおいてサイン、コサイン、タンジェントの値が一意に定まるので、サイン、コサイン、タンジェントはθの関数であるといえます。これを三角関数と言います。

では、ここで0<θ<90の場合を考えてみましょう。
この時、三角関数の各値は、θに対応する直角三角形の2辺の比に対応するので単位円で考えるより、簡単に考えられます。直角三角形を用いて三角関数を定義しようとすると、比を求めるために2辺の長さという2つの未知数が必要になります。この時これは関数とは呼べないので、サイン、コサイン、タンジェントのことをまとめて三角比と呼びます。
つまり三角比と三角関数は似ているようで定義の仕方が異なっています。

前置きが長くなりましたが、質問にお答えするならば、三角関数を考えるとき、その角度θは一般に-∞<θ<∞で考えられるが、直角三角形の長さの比に対応するという意味で0<θ<90の場合が考えやすい。直角三角形を用いて三角関数を定義するのは難しいのでこの時は三角比という。
つまり三角関数は単位円を用いて定義されるので90度の有無によらず(直角三角形でなくても)三角関数は用いることができる。といったところでしょうか。
高校の授業では単位円が新しい概念の為より身近な直角三角形を用いた定義から説明するので、誤解を招きやすいですよね