至急、お願いします。
Oを原点とするxyz空間に点A（0,1,1）をとり、直線OAをl（エル）とする。半径1の球面Sが領域z＞＝0にあり、xy平面とl（エル）のいずれに接しながら動くとき、Sとxy平面の接点Pの軌跡を求め、図式せよ
どなたか、ご教示をお願いします。
空間ベクトルの問題が分かりません
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ゲスト
Re: 空間ベクトルの問題が分かりません
球の半径を 1、接点を P=(x,y,0) とおくと、球の中心は必ず P の真上 1 だけ
上がった点C=(x,y,1)になります。
この球が直線 l:Ｏ→Ａ(0,1,1)（すなわち方向ベクトル v=(0,1,1)）にも接するという条件は、C から直線 l への距離が 1 になる、ということに他なりません。
直線 l は原点を通り v=(0,1,1) の方向に伸びるので、点 C=(x,y,1) から l への距離 d は
d = ||v×C||/||v||
で与えられ、||v||=√2, v×C = (1−y, x, −x) なので
||v×C||² = (1−y)² + x² + (−x)² = (1−y)² + 2x².
よって
d = √((1−y)² + 2x²) / √2 ＝ 1
を平方して整理すると
(1−y)² + 2x² = 2.
これが P=(x,y) の軌跡の方程式です。
まとめると、求める軌跡は xy-平面上の楕円
2x² + (1−y)² = 2,
すなわち
x² + (y−1)²/2 = 1.
中心 (0,1)、x 軸方向長 2（半軸長＝1）、y 軸方向長 2√2（半軸長＝√2）の楕円です。
上がった点C=(x,y,1)になります。
この球が直線 l:Ｏ→Ａ(0,1,1)（すなわち方向ベクトル v=(0,1,1)）にも接するという条件は、C から直線 l への距離が 1 になる、ということに他なりません。
直線 l は原点を通り v=(0,1,1) の方向に伸びるので、点 C=(x,y,1) から l への距離 d は
d = ||v×C||/||v||
で与えられ、||v||=√2, v×C = (1−y, x, −x) なので
||v×C||² = (1−y)² + x² + (−x)² = (1−y)² + 2x².
よって
d = √((1−y)² + 2x²) / √2 ＝ 1
を平方して整理すると
(1−y)² + 2x² = 2.
これが P=(x,y) の軌跡の方程式です。
まとめると、求める軌跡は xy-平面上の楕円
2x² + (1−y)² = 2,
すなわち
x² + (y−1)²/2 = 1.
中心 (0,1)、x 軸方向長 2（半軸長＝1）、y 軸方向長 2√2（半軸長＝√2）の楕円です。