空間ベクトルの最大値について

[ゲスト]

A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1)及び点Cを中心とする半径1の球Sがある。
点PがS上を動くとき、点Qは点Pのとり方に依らず、
(AP↑)･(BP↑)-(OQ↑)･(CP↑)=2を満たすとする。
(1)点Qの座標を求めよ
(2)(AP↑)･(BP↑)の最大値を求めよ。
(3)AP²+BP²の最大値を求めよ。

どなたかご教授願います。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

P(x,y,z), Q(t,u,v) とする。
また、ベクトル r, s の内積を (r,s) と表す。

ベクトルの内積に関する等式は
$-t x - u y - v z + v + x^2 - x + y^2 - 2 y + z^2 = 2,$
点PがS上であることに関する等式は
$x^2 + y^2 + z^2 - 2 z + 1 = 1$

これらから 2乗の項を消去すると
-(t + 1) x - (u + 2) y - (v - 2) (z - 1) = 0
を得る。全ての x, y, z についてこれが成り立つので、t=-1, u=-2, v=2 となる。
すなわち、Q(-1, -2, 2)


(AP, BP) を最大にする (x,y,z) は
2+(OQ, CP) を最大化する。
OQ は定ベクトルであり、CP も大きさは1であることから、
OQ と CP の向きが一致したときに題意を満たす。
$|OQ|=√((-1)^2+(-2)^2+2^2)=3$
であるから、(AP, BP) の最大値は 5 である。
（なお、このときP(-1/3,-2/3,5/3)）


$AP^2+BP^2$ の最大値を考える。
△ABP を考えると、
$AP^2+BP^2=AB^2+2$|AP| |BP| cos(∠APB)
であり$、AB^2 $は定数であるから
2cos(∠APB)が大きいほど
$AP^2+BP^2$は大きくなる。
(AP,BP)=2+(OQ,CP) より
|AP| |BP|cos(∠APB)
=(AP,BP)
=2+(OQ,CP)

結局、先ほど求めた(AP, BP) を最大にする (x,y,z) が $AP^2+BP^2$ の最大化することがわかる。
このとき
$AP^2+BP^2=(1^2+2^2)+2×5=15$ ■

[ゲスト]

すいません　間違えました
訂正
2cos(∠APB)が大きいほど
$AP^2+BP^2$は大きくなる。
→2|AP| |BP| cos(∠APB)が大きいほど
$AP^2+BP^2$は大きくなる。