lim x→∞ (sinx/x)について

[ゲスト]

lim x→∞ (sinx/x)を求める時、はさみうちを使わないといけないのは何故ですか？
分子のsinxが極限値を持たないというのは分かりますが、その範囲は-1から1であって、全体の極限値はどう考えても0に寄っていくだろうと思ってしまうのですが…
多分数学的に難しい話が出てくるとは思うのですが、ざっくりでも教えて欲しいです

あと、この問題解説の写真の部分の変換が分かりませんでしたので、そちらの解説もお願いします。

[ゲスト]

0≦x<π/2 のとき、
x≦tanx かつ sinx≦x
⇔ x≦sinx/cosx かつ sinx≦x
⇔ cosx≦sinx/x かつ sinx/x≦1
⇔ cosx≦sinx/x≦1 。

故に、
lim[x→+0]cosx≦lim[x→+0](sinx/x)≦lim[x→+0]1
⇔ 1≦lim[x→+0](sinx/x)≦1
⇔ lim[x→+0](sinx/x) = 1 。

x→-0 の方はこれを使って、
lim[x→-0](sinx/x) = lim[x→-0](sin(-x)/(-x)) = lim[t→+0](sint/t) = 1。

よって、
lim[x→0](sinx/x) = 1 。


■次に、x≦tanx かつ sinx≦x の証明の仕方を説明します。

sinx≦x は簡単。弦の長さは直線だから最短。当然、同じ点を結ぶ円弧以下。
sinx は弦の長さの半分、x は円弧の長さの半分だから、sinx は x 以下。

問題は、x≦tanx の方。
この証明を、扇形の面積を使って行ってしまうと、
円の面積を求めるための積分で、lim[x→0](sinx/x)=1 を使ってるから、
lim[x→0](sinx/x)=1 を証明するために lim[x→0](sinx/x)=1 を使ってる
ことになり(循環論法になり)、証明したことになりません。

そこで、別の方法で証明します。

直線 x=1 上を、点P が (1,0) から (1,L) まで動く状況を考えます。

t を 0→L と変化させたときの (1,t) の動きと考えてもいいです。

t を 0→L と変化させたときの、
(1,t)が描く軌跡は垂直な線分で、その線分の長さは L 。

t を 0→L と変化させたときの、
直線(0,0)-(1,t)と、中心(0,0),半径1の円の、交点が描く軌跡は円弧で、
その円弧の長さは
$∫[0→L]√({d(1/√(1+t^2))/dt}^2 + {d(t/√(1+t^2))/dt}^2) dt$
=$ ∫[0→L]√(t^2/(1+t^2)^3 + 1/(1+t^2)^3) dt$
= $∫[0→L]√((t^2+1)/(1+t^2)^3) dt$
= $∫[0→L]√(1/(1+t^2)^2) dt$
= $∫[0→L]1/(1+t^2) dt$ 。
([補足]交点の座標は(1/√(1+t^2), t√(1+t^2))だから、上の式になる)

円弧の長さをθと表したとき、
Lとθの関係は、図形的に、L = tanθ になってるのは明らかですから、
θ≦tanθ を証明するには、
θ≦L 、すなわち、
∫[0→L]1/(1+t^2) dt≦L を証明すればいいのです。

$1/(1+t^2)≦1 $ですから、
$∫[0→L]1/(1+t^2) dt$≦∫[0→L] dt ⇔
$∫[0→L]1/(1+t^2) dt≦L $。
∴ θ≦tanθ 。

証明終了。

微積分は使っていますが、
三角関数関連の微積分は一切使っていませんから、
循環論法にはなりません。