文字式の応用問題について

[ゲスト]

中学数学です。
写真の(4)の途中式の理解ができません。

m番目の正方形に書かれた自然数A.B.Cの部分を求める式は、それぞれ下のようになります。
A…3n-2
B…5n-3
C…7n-4

n番目における正三角形Sを求める式は、上のA.B.Cをそれぞれ足し、＝15n−9...①

〜ここからが理解できません〜

(n＋1)番目の正三角形におけるDは、
D＝7(n+1)-4-{5(n+1)-3}
=7n+3-(5n+2)=2n+1…②

〜ここまで〜

①と②を足し、17n-8

これが315であるとき、
n=19

質問①
Dを求める式の、全体としての解説をお願いします。

質問②
もし、問題文が(n+1)ではなくn+1ならどうなるのか(同じ式になるのか)。

質問③
そもそもなぜ(n+1)なのか。どんな効果があるのか。

質問④
D＝7(n+1)-4-{5(n+1)-3}
のかっこの外にある-4や-3はなぜ出しているのか(かっこの中に入れない理由)

面倒かもしれませんがよろしくお願いします。

[ゲスト]

＞質問①
＞Dを求める式の、全体としての解説をお願いします。

D = C − B
です。

B…5n-3
C…7n-4

ですから，
┌─────────┐
ㅤD = 7n-4 − (5n-3)
└─────────┘
です。

このとき，n というのは，何ばん目かを表す自然数ですから，
たとえば，
★ 8 ばん目の D ならば，
上の式の n のところのかわりに 8 を入れて

D = 7×8-4 − (5×8-3)
ㅤ= 52 − 37
ㅤ= 15
と計算します。

★ (n+1)ばん目の D ならば，
上の式の n のところのかわりに (n+1) を入れて

D = 7×(n+1)-4 − {5×(n+1)-3}
ㅤ= 7n+7-4 − (5n+5-3)
ㅤ= 7n + 3 − (5n+2)
ㅤ= 7n + 3 − 5n − 2
ㅤ= 2n + 1
と計算します。

＞質問④
＞D＝7(n+1)-4-{5(n+1)-3}
＞のかっこの外にある-4や-3はなぜ出しているのか(かっこの中に入れない理由)

というのは，
┌─────────┐
ㅤD = 7n-4 − (5n-3)
└─────────┘
の n のところに (n+1) を代入するからです。


＞質問②
＞もし、問題文が(n+1)ではなくn+1ならどうなるのか(同じ式になるのか)。

ちょっとご質問の意味がわからないのですが，
＞問題文が(n+1)ではなくn+1なら
というのは，
カッコがなかったら，ということでしょうか(’’?)

これは，問題文の中で，取ることのできないカッコです。
なぜなら，n+1 で，ひとつの和を表しているからです。
n+1 で，まるっとひとつの値なのです。

文字式(多項式)の場合，単位をつけるときはカッコをつけて書かなくてはなりませんから，問題文の中で(n+1)番目と書かれています。
n+1番目
と書くことはできません。

また，式に代入するときも，n+1 をまるっとひとつの値として，7とかけてから4を引く，
5とかけてから3を引く，ということから，カッコをつけて代入しないといけません。


＞質問③
＞そもそもなぜ(n+1)なのか。どんな効果があるのか。

n+1 は，n よりひとつ大きい数，
すなわち，(n+1)番目というのは，n 番目の次のことです。

5番目の次は6番目，27番目の次は28番目，100番目の次は101番目，と
次の数はひとつ大きいです。だから，n番目の次は(n+1)番目です。

となりどうしに並ぶ正三角形の，
前のSと次のDとの和が315になるとき，
を求めることになります。