互いに素について

[ゲスト]

①2つの整数a、bに対して、aとbが互いに素であるならば、a+bとabも互いに素であることを証明せよ。
②2つの整数a、bに対して、a+bとabが互いに素ならば、aとbは互いに素であることを証明せよ。

これらの二つの問題について質問です。それぞれ解答をみると、①の方ではa+bとabが共通の「素因数」pをもつと仮定している（pを素数に限定している）のに対し、②の方ではaとbが共通の「素因数」pをもつという仮定の他に、aとbが共通の「1より大きい公約数」pをもつという仮定でも証明可能との記載がありました。①の解答でa+bとabが共通の「1より大きい公約数」pをもつと仮定して良い記載が無いのは何かしら理由がありますか？

[ゲスト]

2の命題を対偶から示すなら「1より大きい公約数」程度の緩い仮定でも構わないが、1の命題だと①の解答の、証明の過程でa^2は素因数pを持つからaも素因数pを持つという流れから（ある整数m、nを用いて）a^2＝p(am-n)ならばa＝pk（kは整数）を導出する部分であり、「素因数」でないと示せないからだと思います。