食塩水の問題

[ゲスト]

下の問題のように、食塩水を混ぜる問題が苦手です。
％とかgとか、割合の問題自体にがてなのですが、問題を解く時のポイントがあれば教えてください。

容器Aにはx％の食塩水100gが、容器Bにy％の食塩水100gが入っている。AからBに食塩水50gを移して混ぜた後、BからAに食塩水50gをもどして混ぜた。この時、容器Aの食塩水の濃度は15％、容器Bの食塩水の濃度は12％だった。xとyの値を求めなさい。

[ゲスト]

食塩水の問題を解く時のポイントは「塩の量」で式を作ることです。
パーセンテージ％を見ると足してしまいたくなりますが、あくまで「塩の量」について足し算の式を作ってください。

今回の問題を解説すると下記のとおりです。
文章だけではわかりづらいのでまず問題文を図にしてみましょう。
添付１をご覧ください。

まずはAとBに含まれる食塩の量を求めてみましょう。
AとBには次の食塩が含まれています。
\begin{equation}
\frac{x}{100}\times100(g)=x(g)
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{y}{100}\times100(g)=y(g)
\end{equation}

ここで、x/100やy/100というのは、パーセンテージ％を計算したものになります。
たとえば30%のオレンジジュースが100gあったとすると、そのなかのオレンジ果汁の量は次のように30gになりますよね。
\begin{equation}
\frac{30}{100}\times100(g)=30(g)
\end{equation}

では問題に戻って、AとBにはそれぞれx(g)、y(g)の食塩が含まれていることがわかりました。
次にAからBへ50g移して、さらにBからAへ50g戻すと、図にしたら添付２のようになりますよね。

この動きを実際の食塩の量を使って表していきましょう。
添付３をご覧ください。

まず食塩水100gが入っていたAから半分の50gをBへ移すので、食塩の量としては次のように半分になります。
\begin{equation}
\frac{50}{100}\times x(g)=\frac{x}{2}(g)
\end{equation}

Bの容器の食塩量は元々入っていたy(g)に加えて、Aから移ってきたx/2が入ってきました。
\begin{equation}
y+\frac{x}{2}(g)
\end{equation}

そして、一番ややこしいのが次です。
Bからさらに50gをAに移すので、Bの食塩水が150g→100gに減ったことから、Bに入っている食塩の量としては2/3になります。
ですので、Bに入っている食塩の量は次のとおりです。
\begin{equation}
\frac{100}{150}\times (y+\frac{x}{2})=\frac{2}{3}\times (y+\frac{x}{2})
\end{equation}

次にAに入っている食塩の量も求めていきます。
もともとAに入っていた食塩x/2と、いまBからAに入ってきた食塩を足すと次の式になりますよね。
\begin{equation}
\frac{x}{2}+\frac{50}{150}\times (y+\frac{x}{2})=\frac{x}{2}+\frac{1}{3}\times (y+\frac{x}{2})
\end{equation}

次が最後です。
問題文に書いてある通り、最終的にAの濃度は15%、Bの濃度は12%ということですので、
それぞれ求めた食塩の量を使って方程式を作ってみましょう。
\begin{equation}
\frac{x}{2}+\frac{1}{3}\times (y+\frac{x}{2})=\frac{15}{100}\times 100
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{2}{3}\times (y+\frac{x}{2})=\frac{12}{100}\times 100
\end{equation}

これらを整理すると、次の連立方程式が作れます。
\begin{equation}
2x+y=45
\end{equation}
\begin{equation}
x+2y=36
\end{equation}

この連立方程式を解くと答えは次のとおりです。
\begin{equation}
x=18
\end{equation}
\begin{equation}
y=9
\end{equation}