数学の図形と方程式です。
1. 中心を(X,Y)とする円が存在する必要条件はなんですか？
∃r>0,∀(x,y),(x-X)²+(y-Y)²＝r²
∃r>0,∃(x,y),(x-X)²+(y-Y)²＝r²
∃r>0,∀(x,y),(x-X)²＋(y-Y)²＝r²⇒(x,y)∈R²
とかかなと思いますがよく分からないです。
2. 円C₁ : (x-X)²+ (y²-Y)²=r²(ただしY=X²)と放物線C₂ : y=x²がある点Q (q,q²)で接する円C₁が存在するような(X,Y) の条件を論理式で定式化するとどうなりますか？ちなみに答えはY=X²(X≧√2∨X≦-√2)です。
個人的には画像の接することの必要十分条件を用いて得られる、以下の定式化で合っているとは思いますが、答えから天下りしたところもあり確信が持てないです。
∃r>0,∃q,(q-X)²＋(q²-Y)²＝r²∧(2(q-X),2q(q²-Y))//(2q,-1)
例えば
接する条件 : ∃q,(q-X)²＋(q²-Y)²＝r²∧(2(q-X),2q(q²-Y))//(2q,-1)
円が存在する条件 : ∃r>0,[∀(x,y),(x-X)²+(y-Y)²＝r²]
を直感的に合わせて
∃r>0,[∀(x,y),(x-X)²+(y-Y)²＝r²]∧[∃q,(q-X)²＋(q²-Y)²＝r²∧(2(q-X),2q(q²-Y))//(2q,-1)]
なども可能ではないでしょうか？
円の証明問題について
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ゲスト
Re: 円の証明問題について
こちら私の見解になります。
ご参考になれば幸いです。
【1. 中心 (X, Y) を持つ円の存在条件】
円とは、ある1点（中心）から一定の距離（半径 r）にある点の集合です。
したがって、中心 (X, Y) を持つ円が存在するためには、正の半径 r が存在することが必要条件となります。
以下の各論理式について検討いたします。
(1) 「∃r > 0, ∀(x, y), ($x - X)^2 + (y - Y)^2 = r^2」$
→ 全ての点が円周上にあることを意味します。これは不適切です。
(2) 「∃r > 0, ∃(x, y), (x - X)^2 + (y - Y)^2 = r^2」
→ 半径 r の円が存在するならば、それに属する点 (x, y) も存在するという意味であり、妥当ですが少々弱い条件です。
(3) 「∃r > 0, ∀(x, y), ($x - X)^2 + (y - Y)^2 = r^2 ⇒$ (x, y) ∈ R^2」
→ 右辺が常に真であるため、(1)とほぼ同様の意味となり、やはり不適切です。
したがって、「∃r > 0」が最も本質的な条件といえます。
もし方程式を含めて表現する場合は、以下のようになります。
「∃r > 0,$ (x - X)^2 + (y - Y)^2 = r^2」$
【2. 円 C1 と放物線 C2 が点 Q(q, q^2) で接する条件】
図形が「接する」とは、
・共通点を持つ（点 Q が両方の曲線上にある）
・接点における接線が一致する（接線の傾きが同じ）
という2つの条件を満たすことを意味します。
以下の論理式を考えます。
$「∃r > 0, ∃q, (q - X)^2 + (q^2 - Y)^2 = r^2
かつ (q - X)(2q) + (q^2 - Y)(-1) = 0$」
説明いたします。
$・(q - X)^2 + (q^2 - Y)^2 = r^2 $→ 点 Q が円上にある（共通点）
$・(q - X)(2q) + (q^2 - Y)(-1) = 0$ → 円の中心と接点を結ぶベクトルと、放物線の接線ベクトルの内積が 0、すなわち直交している（接触）
ここで使用しているベクトルは以下のとおりです。
•円の中心から接点へのベクトル：(q - X, q^2 - Y)
•放物$線 y = x^2 $の接線ベクトル：(2q, -1)（傾きが 2q の直線と平行）
一方、$「(2(q - X), 2q(q^2 - Y)) ∥ (2q,$ -1)」という表現は、法線と接線が平行であるという意味になりますが、これは幾何学的に接触の定義に反しており、不適切です。
【3. 接触条件から $Y = X^2 $(X ≧ √2 または X ≦ -√2) を導く理由】
$Y = X^2 $という式は、円の中心が放物線上にあることを表しています。
点 Q(q, q^2) が円 C1 上にもあるとすると、
$(q - X)^2 + (q^2 - Y)^2 = r^2$
さらに接線の直交条件として、
(q - X)(2q) + (q^2 - Y)(-1) = 0
が成り立ちます。ここで Y = X^2 を代入すると、
$(q - X)(2q) + (q^2 - X^2)(-1) = 0$
展開すると、
$2q(q - X) - (q^2 - X^2) = 0$
すなわち、
$(q - X)^2 = 0 → q = X
$
となります。
q = X を $(q - X)^2 + (q^2 - Y)^2 = r^2 $に代入すると、
$0 + (X^2 - X^2)^2 = r^2 → r = 0 $となり、これは矛盾します。
したがって、中心が放物線上にあるだけでは不十分で、接点との距離（半径）も正である必要があることから、X の値に条件が必要となります。
その結果、以下の条件が必要になります。
$Y = X^2 かつ X ≧ √2 または X ≦ -√2$
【まとめ】
・円が存在するには、「∃r > 0」という条件が必要です。
・接触の条件は、「共通点を持つ」ことと「接点での直交（内積が0）」であることです。
・平行条件（//）は、接触の定義に反するため誤りです。
・Y = X^2（中心が放物線上）でも、半径が正になるためには X に条件が必要です。
ご参考になれば幸いです。
【1. 中心 (X, Y) を持つ円の存在条件】
円とは、ある1点（中心）から一定の距離（半径 r）にある点の集合です。
したがって、中心 (X, Y) を持つ円が存在するためには、正の半径 r が存在することが必要条件となります。
以下の各論理式について検討いたします。
(1) 「∃r > 0, ∀(x, y), ($x - X)^2 + (y - Y)^2 = r^2」$
→ 全ての点が円周上にあることを意味します。これは不適切です。
(2) 「∃r > 0, ∃(x, y), (x - X)^2 + (y - Y)^2 = r^2」
→ 半径 r の円が存在するならば、それに属する点 (x, y) も存在するという意味であり、妥当ですが少々弱い条件です。
(3) 「∃r > 0, ∀(x, y), ($x - X)^2 + (y - Y)^2 = r^2 ⇒$ (x, y) ∈ R^2」
→ 右辺が常に真であるため、(1)とほぼ同様の意味となり、やはり不適切です。
したがって、「∃r > 0」が最も本質的な条件といえます。
もし方程式を含めて表現する場合は、以下のようになります。
「∃r > 0,$ (x - X)^2 + (y - Y)^2 = r^2」$
【2. 円 C1 と放物線 C2 が点 Q(q, q^2) で接する条件】
図形が「接する」とは、
・共通点を持つ（点 Q が両方の曲線上にある）
・接点における接線が一致する（接線の傾きが同じ）
という2つの条件を満たすことを意味します。
以下の論理式を考えます。
$「∃r > 0, ∃q, (q - X)^2 + (q^2 - Y)^2 = r^2
かつ (q - X)(2q) + (q^2 - Y)(-1) = 0$」
説明いたします。
$・(q - X)^2 + (q^2 - Y)^2 = r^2 $→ 点 Q が円上にある（共通点）
$・(q - X)(2q) + (q^2 - Y)(-1) = 0$ → 円の中心と接点を結ぶベクトルと、放物線の接線ベクトルの内積が 0、すなわち直交している（接触）
ここで使用しているベクトルは以下のとおりです。
•円の中心から接点へのベクトル：(q - X, q^2 - Y)
•放物$線 y = x^2 $の接線ベクトル：(2q, -1)（傾きが 2q の直線と平行）
一方、$「(2(q - X), 2q(q^2 - Y)) ∥ (2q,$ -1)」という表現は、法線と接線が平行であるという意味になりますが、これは幾何学的に接触の定義に反しており、不適切です。
【3. 接触条件から $Y = X^2 $(X ≧ √2 または X ≦ -√2) を導く理由】
$Y = X^2 $という式は、円の中心が放物線上にあることを表しています。
点 Q(q, q^2) が円 C1 上にもあるとすると、
$(q - X)^2 + (q^2 - Y)^2 = r^2$
さらに接線の直交条件として、
(q - X)(2q) + (q^2 - Y)(-1) = 0
が成り立ちます。ここで Y = X^2 を代入すると、
$(q - X)(2q) + (q^2 - X^2)(-1) = 0$
展開すると、
$2q(q - X) - (q^2 - X^2) = 0$
すなわち、
$(q - X)^2 = 0 → q = X
$
となります。
q = X を $(q - X)^2 + (q^2 - Y)^2 = r^2 $に代入すると、
$0 + (X^2 - X^2)^2 = r^2 → r = 0 $となり、これは矛盾します。
したがって、中心が放物線上にあるだけでは不十分で、接点との距離（半径）も正である必要があることから、X の値に条件が必要となります。
その結果、以下の条件が必要になります。
$Y = X^2 かつ X ≧ √2 または X ≦ -√2$
【まとめ】
・円が存在するには、「∃r > 0」という条件が必要です。
・接触の条件は、「共通点を持つ」ことと「接点での直交（内積が0）」であることです。
・平行条件（//）は、接触の定義に反するため誤りです。
・Y = X^2（中心が放物線上）でも、半径が正になるためには X に条件が必要です。