三角関数の積分について

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数学の問題です

不定積分 ∫log(x+√（x^2+1）)dx を求めよという問題です。
よろしくお願いします。

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∫log{x+√(x^2+1)}dx

=∫[1・log{x+√(x^2+1)}]dx

=∫[(x)'・log{x+√(x^2+1)}]dx

=(x)・log{x+√(x^2+1)}-∫x・[log{x+√(x^2+1)}]'dx

=x・log{x+√(x^2+1)}-∫[x・{x+√(x^2+1)}'/{x+√(x^2+1)}]dx

式が長くなるので、一部分を別に計算します。

{x+√(x^2+1)}'

={x+(x^2+1)^(1/2)}'

=1+(1/2)・(x^2+1)^(1/2-1)・(x^2+1)'

=1+(1/2)・(x^2+1)^(-1/2)・2x

=1+x・(x^2+1)^(-1/2)

=1+x/(x^2+1)^(1/2)

={(x^2+1)^(1/2)+x}/(x^2+1)^(1/2)

={x+√(x^2+1)}/√(x^2+1)

よって、

∫log{x+√(x^2+1)}dx

=x・log{x+√(x^2+1)}-∫[x・[x+√(x^2+1)}/√(x^2+1)]/{x+√(x^2+1)}]dx

=x・log{x+√(x^2+1)}-∫{x/√(x^2+1)}dx

第2項において、t=x^2+1とおきますね。(^^♪

両辺をxで微分して、

dt/dx=2x

xdx=(1/2)dt

∫{x/√(x^2+1)}dx

=∫{1/√(x^2+1)}xdx

=∫(1/√t)(1/2)dt

=(1/2)∫t(-1/2)dt

=(1/2)・2t^(1/2)

=√(x^2+1)

よって、

∫log{x+√(x^2+1)}dx

=x・log{x+√(x^2+1)}-√(x^2+1)+C

となります。