三角方程式の難問を解いてください

[ゲスト]

数学の質問（難）
0≦X≦2πの範囲でcos(πcosx)=cosxを満たすxの個数を求めよ

解説を読んだんですが、cosの中にcosあったりして解き方がいまいち理解できません。
解説お願いします。

[ゲスト]

確かにcosの中にcosがあってよくわかりませんよね．
ですから，
t=πcosxと置いてみるのは自然なことかと思います．

ちなみに，cos(πcosx)は一見ややこしそうですが，
たとえば，x=0のときは，cos(π・0)=cos0=1,
x=1/2のとき，cos(π・1/2)=cos(π/2)=0
などとなります．

じっくり考えれば，そんなものかしらね，と一応納得されると思います．

さて，
t=πcosxとおくと，-1≦cosx≦1ですから，-π≦πcosx≦π，
ですから，
-π≦t≦π
が成り立ちます．
t=πcosxですから，cosx=t/πであることもおさえておきます．

ここまでのことで，問題をすり替えますと，
>0≦x≦2πの範囲でcos(πcosx)=cosxを満たすxの個数を求めよ
は，
『-π≦t≦πの範囲で，cost=t/πをみたすtに対して，
cosx=t/πが成り立つxの個数を求めよ」，
となります．これを関数の言葉でさらに言い換えますと，
『-π≦t≦πの範囲で，2つの関数y=costとy=t/πのグラフにおいて，
交点をもつようなtに対して，
cosx=t/πをみたすxの個数を求めよ』，
となります．

y=cost, y=x/πを描けばわかりますが，3点でぶつかることはわかるのですが，
-π以外の2点は具体的には求まりません．

しかし，今回は，値ではなく，あくまで個数ですから，
α，βとおいて，それぞれわかる範囲を書いておき，
cosx=-1, α/π，β/π
と表していくわけです．
0≦x≦2πの範囲で，cosxはx=0 or π or 2π以外は，
同じcosxの値をもつxは2個ありますので，5個とわかります．

グラフが気になったので，
y=cos(πcosx)-cosxを描いてみました．
確かに0≦x≦2πの範囲にx軸との交点は5個あることがわかると思います．