数列について質問ですこの問題の考え方がないため宜しければ解法、解答を教えていただけると幸いです。

投稿記事 by **ゲスト** » 2025/4/15(火) 18:08:51

数Bの黄色チャート例題8について質問です。

『4と25の間にあって、11を分母とする既約分数の総和を求めよ。』
模範解答では、4〜25までの11を分母とした整数の和を等差数列の和の公式を使って3335と求め、そこから5〜24の既約分数でない整数の和も等差数列の和の公式を使って290と求め、これを引いて3045と求めています...よね。

ここで、補集合の考え方ではなく直接求められないのかなと思って色々考えていたら、この3045という数字は
55/11, 66/11, 77/11, ... , 264/11
という公差11、項数210の等差数列の和を求めても3045と求まりました。

ここでひとつ疑問に思ったのですが、
55/11, 66/11, 77/11, ... , 264/11 という数列は、分数を約分してしまえば 5, 6, 7, ... , 24 となりますよね。模範解答では「5〜24の既約分数でない整数の和は290」と求めたと思うので、やってることは同じ(?)なのに、どうして数列の和が3045と280と異なる結果になるのか分かりません。

私は数学が得意じゃないので、上記の考え方のどこかが間違っているはずなのですが、どこがどう間違っているのかいくら考えても微塵も分からず...。
どうか、分かる方は教えていただけると本当に助かります。よろしくお願いします。

投稿記事 by **ゲスト** » 2025/4/15(火) 18:17:11

補集合の考え方ではなく直接求められます。
等差数列の和の公式は(初項+末項)×項数÷2で与えられますが、これは
等差数列でなくても使える場合はけっこうあります。

4と25の間にあって11を分母とする既約分数を小さいものから順に並べた
数列についても使えます。上の公式をどのようにして作ったかを考えれば
難しくありません。1番前と1番後ろをたす、2番目と後ろから2番目をたす
前からk番目と後ろからk番目をたす、すべて同じで29になります。
だからあとは項数さえわかればおしまいです。項数は
25･11-4･11+1-(25-4+1)=(25-4)･11-(25-4)=21･10=210
従って29･210/2=3045

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