どのような実数xに対しても、不等式
| x^3+ax^2+bx+c | <= | x^3 |
が成り立つように、実数a,b,cを定めよ。
.
という問題に対して次のように答えたのですが、論理的に間違っていないか不安です。
模範解答は「x=1/tと置換して分母を払う」です。
入試数学の掌握 総論編 Theme 1-8
絶対値の評価について
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Re: 絶対値の評価について
$|x^3+ax^2+bx+c| ≦ |x^３| ‥‥①$
①が全ての実数xについて成立するから、
x＝0でも成立する。
従って、代入すると、|c| ≦0 → c＝0、である。
この時、①は$、|x^3+ax^2+bx| ≦ |x^３| $、だから、$|x|*|x^2+ax+b| ≦|x|* |x^2|、である。$
よって$、|x^2+ax+b| ≦ |x^2|$、を考える事になる。
$|x^2|＝x^2$より、これは、
$－x^2≦x^2+ax+b≦x^2、$だから、
$ax+b≦0、2x^2+ax+b≧0、で$。
・$ax+b≦0の時$ ‥‥ a＞0、a＜0の時は、xの1次関数だから、全てのxに対して、ax+b≦0になる事はない。
よって、これが常に成立するなら、a＝b＝0 ‥‥②である。
$・2x^2+ax+b≧0の時 ‥‥ x^2数>0より、
常に成立するなら
判別式＝a^2－8b≦0 ‥‥③、である。
以上、②と③が同時に成立するのは、
a＝b＝0、である。
つまり、a＝b＝c＝0、である。
逆に、a＝b＝c＝0とすると、
①は$、|x^3| ≦ |x^３| $、となり題意を持たす。
①が全ての実数xについて成立するから、
x＝0でも成立する。
従って、代入すると、|c| ≦0 → c＝0、である。
この時、①は$、|x^3+ax^2+bx| ≦ |x^３| $、だから、$|x|*|x^2+ax+b| ≦|x|* |x^2|、である。$
よって$、|x^2+ax+b| ≦ |x^2|$、を考える事になる。
$|x^2|＝x^2$より、これは、
$－x^2≦x^2+ax+b≦x^2、$だから、
$ax+b≦0、2x^2+ax+b≧0、で$。
・$ax+b≦0の時$ ‥‥ a＞0、a＜0の時は、xの1次関数だから、全てのxに対して、ax+b≦0になる事はない。
よって、これが常に成立するなら、a＝b＝0 ‥‥②である。
$・2x^2+ax+b≧0の時 ‥‥ x^2数>0より、
常に成立するなら
判別式＝a^2－8b≦0 ‥‥③、である。
以上、②と③が同時に成立するのは、
a＝b＝0、である。
つまり、a＝b＝c＝0、である。
逆に、a＝b＝c＝0とすると、
①は$、|x^3| ≦ |x^３| $、となり題意を持たす。