（２）が解けません。

[ゲスト]

途中式も含めて解説をしてほしいです。
αとβをうまく式変形するのですか？

[ゲスト]

念の為、（１）も解説します。
（１）
二次方程式
\begin{equation}
y = x^2 - 2ax - 2a^2 + 4a + 4
\end{equation}
が異なる2つの実数解をもつためには、判別式が正である必要があります。すなわち、判別式Dに対して
\begin{equation}
D > 0
\end{equation}
が成り立つことが条件です。

この式は一般的な二次方程式の形
\begin{equation}
y = ax^2 + bx + c
\end{equation}
と見たとき、係数は
\begin{equation}
a = 1,\quad b = -2a,\quad c = -2a^2 + 4a + 4
\end{equation}
と読み取れます。

判別式D = b^2 - 4acに代入して計算すると、
\begin{equation}
D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a^2 + 4a + 4)
\end{equation}
\begin{equation}
= 4a^2 + 8a^2 - 16a - 16
\end{equation}
\begin{equation}
= 12a^2 - 16a - 16
\end{equation}

この判別式が正であることが必要なので、
\begin{equation}
12a^2 - 16a - 16 > 0
\end{equation}
両辺を4で割って簡単にすると、
\begin{equation}
3a^2 - 4a - 4 > 0
\end{equation}

この二次不等式を解くため、まず対応する方程式の解を求めます。
\begin{equation}
3a^2 - 4a - 4 = 0
\end{equation}
解の公式より、
\begin{equation}
a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3}
\end{equation}
\begin{equation}
= \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6}
\end{equation}
\begin{equation}
= \frac{4 \pm \sqrt{64}}{6}
\end{equation}
\begin{equation}
= \frac{4 \pm 8}{6}
\end{equation}
\begin{equation}
a = 2 \quad \text{または} \quad a = -\frac{2}{3}
\end{equation}

このとき、二次関数
\begin{equation}
f(a) = 3a^2 - 4a - 4
\end{equation}
は上に凸であり、グラフは下に開いた放物線です。したがって、
\begin{equation}
3a^2 - 4a - 4 > 0
\end{equation}
を満たすのは、解と解の外側の範囲、すなわち
\begin{equation}
a < -\frac{2}{3} \quad \text{または} \quad a > 2
\end{equation}
が異なる2つの実数解をもつための aの条件になります。
添付①がグラフにしたものです。

（２）
まず、解の性質を使って式を変形します。
二次方程式の解α、βに対しては、次の関係式が成り立ちます
（これは「解と係数の関係」と呼ばれる公式です）：
\begin{equation}
\alpha + \beta = 2a,\quad \alpha \beta = -2a^2 + 4a + 4
\end{equation}

ここで、次のように式を変形します。
\begin{equation}
\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta
\end{equation}

この公式に先ほどの値を代入すると、
\begin{equation}
\alpha^2 + \beta^2 = (2a)^2 - 2(-2a^2 + 4a + 4)
\end{equation}
\begin{equation}
= 4a^2 + 4a^2 - 8a - 8
\end{equation}
\begin{equation}
= 8a^2 - 8a - 8
\end{equation}

ここで、aのとりうる範囲は、前問で求めたように
\begin{equation}
a < -\frac{2}{3} \quad \text{または} \quad a > 2
\end{equation}
です。

この範囲で、関数
\begin{equation}
g(a) = 8a^2 - 8a - 8
\end{equation}
の最小値を求めるには、まず関数のグラフの形を考えます。
平方完成すると、
\begin{align}
f(a) &= 8(a^2 - a)-8 \\
&= 8[(a - \frac{1}{2}]^2- 2-8 \\
&= 8[(a - \frac{1}{2}]^2- 10 \\
\end{align}
グラフは添付②のようになります。

頂点は a = 1/2 のとき-10です。その近くに最小値がありそうなので、範囲内の近い整数を代入して調べていきます。

添付③のようにグラフを極端に書くと、g(a)つまりα^2+β^2はa=-2/3より小さく、2よりも大きい範囲で整数を探すことになります。

たとえばa=-2/3のとき32/9 +16/3-8=80/9-72/9=8/9です。

よって、グラフから最小値は1になります。