極限 083 関数の極限3の問題の解説をお願いします
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Re: 極限 083 関数の極限3の問題の解説をお願いします
(1)
$● lim[x→1]{ (√x -1)/logx }
= lim[x→1]{ (x-1)/((√x +1)logx) }
= lim[x→1]{ (1/(√x +1))(x-1)/logx }
= lim[x→1]{ (1/(√x +1))/((1/(x-1))logx) }
= lim[x→1]{ (1/(√x +1))/((1/(x-1))log(1+(x-1))) }
= lim[x→1]{ (1/(√x +1))/log((1+(x-1))^(1/(x-1))) }
= (1/(√1 +1))/log(e)
= 1/2 。$
(2)
$● lim[x→0]{ (1-cosx)/x^2 }
= lim[x→0]{ (1-(cosx)^2)/(x^2 (1+cosx)) }
= lim[x→0]{ (sinx)^2/(x^2(1+cosx)) }
= lim[x→0]{ (sinx /x)^2 (1/(1+cosx)) }
= 1^2 (1/(1+1))
= 1/2 。$
(3)
x→x^3 とは、どういう意味でしょうか？
「→」の指示を静的な意味と解釈するのでしょうか？ その場合、
例えば、x が 2 のときは目標である 8 の方向に動かさないといけない。
目標から離れる方向に動かしても目標がそれより速い速さで近づいて来て
x と x^3 の差が縮まるとは言え、「→」の指示に逆らう動かし方になる。
「→」の指示を静的な意味と解釈するのなら、
x を目標(x^3 の計算結果)の方向に少し動かしてみる。
x が動いたから目標も動くので、目標を仕切りなおして同じことを繰り返す
と解釈するのが自然、ということになります。
要するに、x を数値計算の反復計算みたいな方法で動かすことになります。
そう解釈した場合、以下(↓)のようになります。
x の初期値が、
x＜-1 の時、x→-∞ 。
x＞ 1 の時、x→ ∞ 。
x＝-1 の時、最初から-1のままで-1-0でも-1+0でもなく極限値は語れない。
x＝ 1 の時、最初から 1のままで 1-0でも 1+0でもなく極限値は語れない。
x＝ 0 の時、最初から 0のままで -0 でも +0 でもなく極限値は語れない。
-1＜x＜0 の時、x→-0 。
0 ＜x＜1 の時、x→+0 。
極限値が語れる時のみ極限値を求めると、
x の初期値が、
$x＜-1 の時、lim[x→-∞]{ 1/x^2 - sinx/x^3 } = 0 。
x＞ 1 の時、lim[x→ ∞]{ 1/x^2 - sinx/x^3 } = 0 。
-1＜x＜0 の時、lim[x→-0]{ (x - sinx)/x^3 } = 1/6 (理由は後述)。
0 ＜x＜1 の時、lim[x→+0]{ (x - sinx)/x^3 } = 1/6 (理由は後述)。$
x→a のときの f(x) の極限値とは、
x＜a のときの f(x) がどんな値に向かって行くか、と、
x＞a のときの f(x) がどんな値に向かって行くかを表したもので、
x＝a のときの f(x) の値は関係ないから、
x の値が最初から最後までずっと a のままのときは、
x→a のときの f(x) の極限値は語れないということになりますよね？
とにかく「 x → x^3 」の意味がわからない(反復計算でいいかわからない)
から、上に書いた考えでいいのかも、わかりません。
「→」を、静的ではなく動的な意味で解釈すると
「x の方を x^3 に向け動かす」を表す矢印の存在意義がなくなってしまう。
■なお、$lim[x→+0]{ (x - sinx)/x^3 } = 1/6$ と言える理由を説明すると
$0＜x＜π/2 のとき、
● sinx ≦ x 。
両辺を x で 0 から x まで定積分すると、
● - cosx + 1 ≦ x^2/2 。
両辺を x で 0 から x まで定積分すると、
● - sinx + x ≦ x^3/6 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① 。
両辺を x で 0 から x まで定積分すると、
● cosx - 1 + x^2/2 ≦ x^4/24 。
両辺を x で 0 から x まで定積分すると、
● sinx - x + x^3/6 ≦ x^5/120
⇔ x^3/6 - x^5/120 ≦ x - sinx 。
①より、x - sinx ≦ x^3/6 だから、
● x^3/6 - x^5/120 ≦ x - sinx ≦ x^3/6
⇔ 1/6 - x^2/120 ≦ (x - sinx)/x^3 ≦ 1/6 。$
よって、
$lim[x→+0]{1/6-x^2/120}≦lim[x→+0]{(x-sinx)/x^3}≦lim[x→+0]{1/6}
⇔ 1/6 ≦ lim[x→+0]{ (x - sinx)/x^3 } ≦ 1/6
⇔ lim[x→+0]{ (x - sinx)/x^3 } = 1/6 $。
高校の範囲。
■また、$lim[x→-0]{ (x - sinx)/x^3 } = 1/6$ と言える理由を説明すると
$● lim[x→-0]{ (x - sinx)/x^3 }
= lim[x→-0]{ (- x + sinx)/(-x)^3 }
= lim[x→-0]{ ((-x) - sin(-x))/(-x)^3 }
= lim[t→+0]{ (t - sint)/t^3 }
= 1/6 。$
$● lim[x→1]{ (√x -1)/logx }
= lim[x→1]{ (x-1)/((√x +1)logx) }
= lim[x→1]{ (1/(√x +1))(x-1)/logx }
= lim[x→1]{ (1/(√x +1))/((1/(x-1))logx) }
= lim[x→1]{ (1/(√x +1))/((1/(x-1))log(1+(x-1))) }
= lim[x→1]{ (1/(√x +1))/log((1+(x-1))^(1/(x-1))) }
= (1/(√1 +1))/log(e)
= 1/2 。$
(2)
$● lim[x→0]{ (1-cosx)/x^2 }
= lim[x→0]{ (1-(cosx)^2)/(x^2 (1+cosx)) }
= lim[x→0]{ (sinx)^2/(x^2(1+cosx)) }
= lim[x→0]{ (sinx /x)^2 (1/(1+cosx)) }
= 1^2 (1/(1+1))
= 1/2 。$
(3)
x→x^3 とは、どういう意味でしょうか？
「→」の指示を静的な意味と解釈するのでしょうか？ その場合、
例えば、x が 2 のときは目標である 8 の方向に動かさないといけない。
目標から離れる方向に動かしても目標がそれより速い速さで近づいて来て
x と x^3 の差が縮まるとは言え、「→」の指示に逆らう動かし方になる。
「→」の指示を静的な意味と解釈するのなら、
x を目標(x^3 の計算結果)の方向に少し動かしてみる。
x が動いたから目標も動くので、目標を仕切りなおして同じことを繰り返す
と解釈するのが自然、ということになります。
要するに、x を数値計算の反復計算みたいな方法で動かすことになります。
そう解釈した場合、以下(↓)のようになります。
x の初期値が、
x＜-1 の時、x→-∞ 。
x＞ 1 の時、x→ ∞ 。
x＝-1 の時、最初から-1のままで-1-0でも-1+0でもなく極限値は語れない。
x＝ 1 の時、最初から 1のままで 1-0でも 1+0でもなく極限値は語れない。
x＝ 0 の時、最初から 0のままで -0 でも +0 でもなく極限値は語れない。
-1＜x＜0 の時、x→-0 。
0 ＜x＜1 の時、x→+0 。
極限値が語れる時のみ極限値を求めると、
x の初期値が、
$x＜-1 の時、lim[x→-∞]{ 1/x^2 - sinx/x^3 } = 0 。
x＞ 1 の時、lim[x→ ∞]{ 1/x^2 - sinx/x^3 } = 0 。
-1＜x＜0 の時、lim[x→-0]{ (x - sinx)/x^3 } = 1/6 (理由は後述)。
0 ＜x＜1 の時、lim[x→+0]{ (x - sinx)/x^3 } = 1/6 (理由は後述)。$
x→a のときの f(x) の極限値とは、
x＜a のときの f(x) がどんな値に向かって行くか、と、
x＞a のときの f(x) がどんな値に向かって行くかを表したもので、
x＝a のときの f(x) の値は関係ないから、
x の値が最初から最後までずっと a のままのときは、
x→a のときの f(x) の極限値は語れないということになりますよね？
とにかく「 x → x^3 」の意味がわからない(反復計算でいいかわからない)
から、上に書いた考えでいいのかも、わかりません。
「→」を、静的ではなく動的な意味で解釈すると
「x の方を x^3 に向け動かす」を表す矢印の存在意義がなくなってしまう。
■なお、$lim[x→+0]{ (x - sinx)/x^3 } = 1/6$ と言える理由を説明すると
$0＜x＜π/2 のとき、
● sinx ≦ x 。
両辺を x で 0 から x まで定積分すると、
● - cosx + 1 ≦ x^2/2 。
両辺を x で 0 から x まで定積分すると、
● - sinx + x ≦ x^3/6 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① 。
両辺を x で 0 から x まで定積分すると、
● cosx - 1 + x^2/2 ≦ x^4/24 。
両辺を x で 0 から x まで定積分すると、
● sinx - x + x^3/6 ≦ x^5/120
⇔ x^3/6 - x^5/120 ≦ x - sinx 。
①より、x - sinx ≦ x^3/6 だから、
● x^3/6 - x^5/120 ≦ x - sinx ≦ x^3/6
⇔ 1/6 - x^2/120 ≦ (x - sinx)/x^3 ≦ 1/6 。$
よって、
$lim[x→+0]{1/6-x^2/120}≦lim[x→+0]{(x-sinx)/x^3}≦lim[x→+0]{1/6}
⇔ 1/6 ≦ lim[x→+0]{ (x - sinx)/x^3 } ≦ 1/6
⇔ lim[x→+0]{ (x - sinx)/x^3 } = 1/6 $。
高校の範囲。
■また、$lim[x→-0]{ (x - sinx)/x^3 } = 1/6$ と言える理由を説明すると
$● lim[x→-0]{ (x - sinx)/x^3 }
= lim[x→-0]{ (- x + sinx)/(-x)^3 }
= lim[x→-0]{ ((-x) - sin(-x))/(-x)^3 }
= lim[t→+0]{ (t - sint)/t^3 }
= 1/6 。$