数IIの相加平均と相乗平均が理解出来ません。
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ゲスト
数IIの相加平均と相乗平均が理解出来ません。
数IIの相加平均と相乗平均が理解出来ません。もはや何を求めさせられてるのかすら分かりません。誰か例題と解説お願いします。教科書の例題レベルでお願いします。
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ゲスト
Re: 数IIの相加平均と相乗平均が理解出来ません。
まず、相加相乗平均の公式の意味を確認します。
2つの正の数A,Bについて、
相加平均とは普通の平均です。
(A+B)/2
相乗平均とは
√AB
です。
両者には、
(A+B)/2 ≧√AB
という関係があります。つまり相加平均のほうが大きいのです。ただし、
A=B
のときに両者は一致します。(等号成立条件)
以上のことは、正の数でさえあれば、どんなA,Bについても成り立ちます。
これを式変形した、
(A+B)≧2√AB
がよく使われる公式の形です。
例えば、正の数Xについて
X +1/X
という式があるとします。この式の最小値を求めよ、という問題を考えます。
これについて相加相乗平均の公式を使ってみましょう。
A=X
B=1/X
というわけです。すると
X+1/X ≧2√(X/X) =2√1 =2
というように、不等号の右辺から文字が消えてしまいます。残ったのは、
X +1/X ≧2
という式です。つまり、相加相乗平均の公式を使うことで、X+1/Xという式がどう頑張っても2未満にはならないと分かったわけです。
ここで注意点です。相加相乗平均は、大小関係を表す式です。X+1/Xがどうやっても2以上だということは言えますが、「2以上の値すべてを取れる」と言うことではありません。例えばX+1/Xが10以上だけを取る、ということも考えられます。(10以上だから、「2以上である」という結果は正しい。)
だからこのままでは最小値が2とは言えません。本当に2という値を取れるかわからないからです。本当に2までの値を取れるかを調べるために、等号成立条件を使います。
A=Bのときに等号が成立する。つまり
X=1/X
のとき。変形すると
X=1
の時。このとき計算するとたしかにX+1/X=2になる。
これによって、本当に最小値2を取ることが確かめられた。
以上から、最小値が分かったわけです。
これが相加相乗平均を使うときの流れです。
使うときのポイントは、
①Xと1/Xのように逆数になっているものの足し算
②どちらも正の数
です。これを満たせば、相加相乗平均の右辺が定数になります。逆にこれ以外では使いみちはほぼありません。
そしてもう一つのポイント、
③本当に最小値を取れるのかを等号成立条件で調べる
です。
例を見ましょう。
X +1/(X+2)
という式の最小値を求めよ。ただしX>-2とする。
これは式変形によって、
(X+2) +1/(X+2) -2
とできます。
A=(X+2)
B=1/(X+2)
が逆数になるうえに正の数なので、相加相乗平均を使うと、
(与式)≧2√1 -2 =2-2=0
になります。
後にくっついていた-2というのはただの定数なので、そのまま放っておいたわけです。
あとは本当に最小値0になれるのか調べないといけない。
等号成立は
(X+2) =1/(X+2)
なので
X=-1
のときが等号成立。実際に代入したら最小値0になる。
だからX=-1のときの0が最小値。
2y +1/y
の最小値。(y>0)
A=2y
B=1/y
で相加相乗平均。これは逆数じゃないけど、分母分子のy打ち消してくれる
(与式)≧2√(2y/y) =2√2
になる。最小値2√2を本当に取れるかは確認が必要。等号成立条件は、
2y=1/y
の時なので、
y=1/√2
の時。代入したら確かに2√2になる。
例えばこれがもし、
y>1
という範囲だったら、等号を成立させるy=1/√2を取れないことになります。こうなると、相加相乗平均では最小値は全く見つけられないことになります。ただし相加相乗平均の式自体は絶対成り立つので、2√2より大きい何かしらの数が最小値、ということだけがわかるわけです。
発展
$x^2 +4/(x^2+1)
の最小値。(^2は2乗です)
これも式変形で、
(x^2+1) +4/(x^2+1) -1
と出来る。
A=(x^2+1)
B=4/(x^2+1)$
にすれば、これはどちらも正の数。相加相乗平均を使って
(与式)≧2√4 -1=3
になる。等号成立は、
A=B
から、
x=1
の時とわかる。
実際にx=1を代入したら確かに最小値3になる。
このように、逆数でなくても文字を打ち消すような同じ形を作れば相加相乗平均が使えます。
2つの正の数A,Bについて、
相加平均とは普通の平均です。
(A+B)/2
相乗平均とは
√AB
です。
両者には、
(A+B)/2 ≧√AB
という関係があります。つまり相加平均のほうが大きいのです。ただし、
A=B
のときに両者は一致します。(等号成立条件)
以上のことは、正の数でさえあれば、どんなA,Bについても成り立ちます。
これを式変形した、
(A+B)≧2√AB
がよく使われる公式の形です。
例えば、正の数Xについて
X +1/X
という式があるとします。この式の最小値を求めよ、という問題を考えます。
これについて相加相乗平均の公式を使ってみましょう。
A=X
B=1/X
というわけです。すると
X+1/X ≧2√(X/X) =2√1 =2
というように、不等号の右辺から文字が消えてしまいます。残ったのは、
X +1/X ≧2
という式です。つまり、相加相乗平均の公式を使うことで、X+1/Xという式がどう頑張っても2未満にはならないと分かったわけです。
ここで注意点です。相加相乗平均は、大小関係を表す式です。X+1/Xがどうやっても2以上だということは言えますが、「2以上の値すべてを取れる」と言うことではありません。例えばX+1/Xが10以上だけを取る、ということも考えられます。(10以上だから、「2以上である」という結果は正しい。)
だからこのままでは最小値が2とは言えません。本当に2という値を取れるかわからないからです。本当に2までの値を取れるかを調べるために、等号成立条件を使います。
A=Bのときに等号が成立する。つまり
X=1/X
のとき。変形すると
X=1
の時。このとき計算するとたしかにX+1/X=2になる。
これによって、本当に最小値2を取ることが確かめられた。
以上から、最小値が分かったわけです。
これが相加相乗平均を使うときの流れです。
使うときのポイントは、
①Xと1/Xのように逆数になっているものの足し算
②どちらも正の数
です。これを満たせば、相加相乗平均の右辺が定数になります。逆にこれ以外では使いみちはほぼありません。
そしてもう一つのポイント、
③本当に最小値を取れるのかを等号成立条件で調べる
です。
例を見ましょう。
X +1/(X+2)
という式の最小値を求めよ。ただしX>-2とする。
これは式変形によって、
(X+2) +1/(X+2) -2
とできます。
A=(X+2)
B=1/(X+2)
が逆数になるうえに正の数なので、相加相乗平均を使うと、
(与式)≧2√1 -2 =2-2=0
になります。
後にくっついていた-2というのはただの定数なので、そのまま放っておいたわけです。
あとは本当に最小値0になれるのか調べないといけない。
等号成立は
(X+2) =1/(X+2)
なので
X=-1
のときが等号成立。実際に代入したら最小値0になる。
だからX=-1のときの0が最小値。
2y +1/y
の最小値。(y>0)
A=2y
B=1/y
で相加相乗平均。これは逆数じゃないけど、分母分子のy打ち消してくれる
(与式)≧2√(2y/y) =2√2
になる。最小値2√2を本当に取れるかは確認が必要。等号成立条件は、
2y=1/y
の時なので、
y=1/√2
の時。代入したら確かに2√2になる。
例えばこれがもし、
y>1
という範囲だったら、等号を成立させるy=1/√2を取れないことになります。こうなると、相加相乗平均では最小値は全く見つけられないことになります。ただし相加相乗平均の式自体は絶対成り立つので、2√2より大きい何かしらの数が最小値、ということだけがわかるわけです。
発展
$x^2 +4/(x^2+1)
の最小値。(^2は2乗です)
これも式変形で、
(x^2+1) +4/(x^2+1) -1
と出来る。
A=(x^2+1)
B=4/(x^2+1)$
にすれば、これはどちらも正の数。相加相乗平均を使って
(与式)≧2√4 -1=3
になる。等号成立は、
A=B
から、
x=1
の時とわかる。
実際にx=1を代入したら確かに最小値3になる。
このように、逆数でなくても文字を打ち消すような同じ形を作れば相加相乗平均が使えます。