三次方程式の虚数解について質問があります

[ゲスト]

三次方程式では解が３つとも異なる虚数解にはなりえないと先ほど知ったのですが、a,b,cを解とする三次方程式は
(x-a)(x-b)(x-c)=0で表せますよね？ これらabcにそれぞれ異なる虚数を入れて展開すれば、係数が整数にはならなくても解が3つの虚数にはならないのですか？
頭の悪い質問で申し訳ないです。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

先ほどグラフとx軸の交点で説明したものです。

「整数係数でなくていい」、
ただの
「3つの虚数解を持つ3次方程式」
ならそれで作れます。

ちなみにxy平面上にグラフが書けませんので
先ほどのx軸との交点の説明は無効になります。

> 三次方程式では解が３つとも異なる虚数解にはなりえない
実数係数(定数項も実数)の三次方程式の話ですね。

> a,b,cを解とする三次方程式は (x-a)(x-b)(x-c)=0で表せますよね？ これらabcにそれぞれ異なる虚数を入れて展開すれば、係数が整数にはならなくても解が3つの虚数にはならないのですか？
解が3つの虚数になります。
ただし、係数(および、定数項)は実数にはならず、少なくとも一つは虚数になります。