平均値の定理について

[heijii]

高校3年生で平均値の定理の勉強をしております。平均値の定理を用いてf(x)＝1/xがx>0で減少することを示したいのですが、[0,∞］で連続と言うことが出来ないので示せないのでしょうか？
[限りなく0に近い値,∞]で連続として、xが限りなく0に近い値以下で減少すると示してなんとなく納得することはできるのですが、きちんと示したいです。学校の先生に聞いても増減表を書けば分かると言われるのですが、どうしても増減表だけでは証明になってないような気がしてしまいます。どなたか解答をお願いします！

[ゲスト]

$x=0, \infty$でfは定義されていませんので、閉区間$[0,\infty]$で連続という命題を定式化するのは関数をだいぶ工夫しないといけないですね。

開区間(0,∞)において単調減少を示すのなら、$0<a<b$を満たす任意の$a,b$に対して、関数
$f(x)=\frac{1}{x}$は区間$(a,b)$において単調減少を示し、すべての開区間の合併が$(0,∞)$であることから従う。