軌跡の問題の解き方を教えてください

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この問題の解き方を教えてください。軌跡の問題なんですが、文字がいっぱい入ってしまうと訳がわからなくなってしまいます。

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グラフを描きながら解いていきましょう。
Ⅰ
（１）
まずこの関数を平方完成して、どんな形をしているのかイメージしてみましょう。
\begin{equation}
y=x^2-2kx
\end{equation}
\begin{equation}
y=(x-k)^2-k^2
\end{equation}
よって、頂点の座標は以下のとおりです。
\begin{equation}
頂点(x,y)=(k,-k^2)
\end{equation}

なお、グラフは添付１のようになります。
kは実数であることしか決められていないので、どこにあるのかは分かりませんが、頂点のy座標は-k^2なので必ず0以下になります。

（２）
「ある点がどんな動きをするか？」
「点はどんな図形を描くか」といった聞き方は軌跡の問題です。

軌跡の問題では、対象となる座標のx座標とy座標をそれぞれ文字で表すことが必要です。
ここでいう文字とは、この問題だとkのことです。
おおまかな方針としては頂点のx座標とy座標をそれぞれkを使って表し、最終的にkを消してxとyだけの式で表すことになります。軌跡というのは関数です。

では先ほどの頂点を思い出してみましょう。

\begin{equation}
頂点(x,y)=(k,-k^2)
\end{equation}

ここで、整理すると次のような２つの式が見えます。
\begin{equation}
x=k , y=-k^2
\end{equation}

よって、これらの式からkを消すと以下のような関数ができます。

\begin{equation}
y=-x^2
\end{equation}

ですので、頂点の軌跡は上に凸の２次関数となります。
図にすると添付２のような形になります。

Ⅱ
こちらの問題も「交点はどんな図形を描くか」と聞かれているので、軌跡の問題になります。
先ほどと同じように考えると、大きな方針としては、交点の座標をaで表して、そこからaを消して関数を求めるような流れです。
まずは交点を求めていきましょう。ax+y=aにx-ay=-1を代入してみます。
\begin{equation}
a(ay-1)+y=a
\end{equation}
\begin{equation}
a^2y-a+y=a
\end{equation}
\begin{equation}
a^2y+y-2a=0
\end{equation}
\begin{equation}
(a^2+1)y=2a
\end{equation}
ここでa^2+1≠0であるので
\begin{equation}
y=\frac{2a}{a^2+1}
\end{equation}
また、交点のx座標は下記の通りです。
\begin{equation}
x-a(a-ax)=-1
\end{equation}
\begin{equation}
x-a^2+a^2x=-1
\end{equation}
\begin{equation}
(a^2+1)x=a^2-1
\end{equation}
ここでa^2+1≠0であるので
\begin{equation}
x=\frac{a^2-1}{a^2+1}
\end{equation}
よって、交点の座標は以下のようになります。
\begin{equation}
(x,y)=(\frac{a^2-1}{a^2+1},\frac{2a}{a^2+1})
\end{equation}

ここからaを消していきましょう。
普通に解くとかなり大変なので、うまく式変形してみます。
x^2+y^2を考えてみてください。
\begin{equation}
x^2+y^2=\frac{(a^2-1)^2}{(a^2+1)^2}+\frac{2a^2}{(a^2+1)^2}
\end{equation}
\begin{equation}
x^2+y^2=\frac{(a^2-1)^2+(2a)^2}{(a^2+1)^2}
\end{equation}
\begin{equation}
x^2+y^2=\frac{(a^2+1)^2}{(a^2+1)^2}=1
\end{equation}

よって交点の軌跡は半径１の円になります。
グラフにすると添付3の通りです。