二次関数の応用問題に解説をお願いします
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二次関数の応用問題に解説をお願いします
以下の問題を教えていください。数3の微分を使わずにお願いしてもいいでしょうか。よろしくお願いいたします。答えは覚えていませんが分数になっていることは覚えています。
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ゲスト
Re: 二次関数の応用問題に解説をお願いします
\[ y=\frac{x^2+x+1}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2+3x}{(x-1)^2}=1+\frac{3x}{(x-1)^2} \]
ここで
\[ \frac{3x}{(x-1)^2}=\frac{1}{\frac{(x-1)^2}{3x}}=\frac{1}{\frac{1}{3}(x+\frac{1}{x})-\frac{2}{3}}\]
$x<0$のとき $y$は最小値をとる。このとき相加平均・相乗平均の関係から
\[x+\frac{1}{x}=-(-x-\frac{1}{x}) \leq -2\sqrt{-x \cdot (-\frac{1}{x})}=-2 \]
等号は$x=-1$のとき成り立つ.
このとき,最小値は
\[ y=1+\frac{1}{\frac{1}{3}(x+\frac{1}{x})-\frac{2}{3}} \geq 1+\frac{1}{-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\]
ここで
\[ \frac{3x}{(x-1)^2}=\frac{1}{\frac{(x-1)^2}{3x}}=\frac{1}{\frac{1}{3}(x+\frac{1}{x})-\frac{2}{3}}\]
$x<0$のとき $y$は最小値をとる。このとき相加平均・相乗平均の関係から
\[x+\frac{1}{x}=-(-x-\frac{1}{x}) \leq -2\sqrt{-x \cdot (-\frac{1}{x})}=-2 \]
等号は$x=-1$のとき成り立つ.
このとき,最小値は
\[ y=1+\frac{1}{\frac{1}{3}(x+\frac{1}{x})-\frac{2}{3}} \geq 1+\frac{1}{-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\]