対数関数の最大値、もしくは最小値について

[ゲスト]

対数関数の最大値、もしくは最小値を求める問題の解き方がよくわかりません。
（そもそも関数の最大値、最小値がよくわかっていないのですが・・・）

関数
y=log(10)(x-5) + log(10)(25-x)

の最大値（または最小値）を求めるという問題で、
参考書で答えは最大値2(x=15)となっていました。
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真数条件
x - 5 > 0
x > 5

25 - x > 0
x < 25
よって
※5 < x < 25

1. y=log(10)(-x^2 + 30x - 125)
底>1より真数部分が最大値をとるとき、yの最大値となる。
よって
2. p=-x^2 + 30x - 125
とし、pの最大値を求める。

p= -(x - 15)^2 + 100
ゆえに、
※よりx= 15で最大値100を取る。

そこで 1 2より、p=100のとき
y=log(10)100 = 2
したがって最大値 2 (x=15)
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このような説明になっていました。
真数条件はわかるのですが、

@「底>1より真数部分が最大値をとるとき、yの最大値となる。」
という文章がよく分からない（底が1以上なのに最大値という、マイナス方向に向かって広がるような言い方であるのがよくわかりません。最小値を取るならわかるのですが・・・）

@ y=log(10)100 = 2 という式がどこから来たのかがわかりません。 log(10)x という式はどこにもないため

あまりに参考書が唐突すぎてピンと来ていません。
質問自体が漠然として申し訳ありません・・・。
二次関数の最大値と最小値および、対数関数の最大値もしくは最小値を求めるという概念がピンと来る説明のされているサイトや書籍、もしくはご教授願えましたら非常に助かります。

[ゲスト]

対数関数のグラフをかいたことはありますか？
底＞1のときは、真数が大きいほどその対数の値は大きくなり、
0＜底＜1のときは、逆に真数が大きいほど対数の値は小さくなります。

問題では、底が10だから、真数が大きいほど対数の値は大きいです。
そこで真数部分を見れば、-x^2+30x-125であるから、これが
一番大きいとき対数の値も一番大きくなると言えます。
p=-x^2+30x-125とすれば、数Ⅰとかでおなじみの上に凸の放物線
だから、頂点部分で最大になることが考えられます。
（２次関数の最大最小がわからないなら、数Ⅰをやり直す
べきだと思います。といっても、グラフの形がわかり・平方完成で
頂点を求める計算ができればいいだけですが・・）
定義域が5＜x＜25であり、真数はp=-(x-15)^2+100となるから
頂点(15,100)は定義域内ということでそれが最大と言えます。

よって、真数はx=15のとき最大値100になるから、
yの最大値は、$y=log(10)(-x^2+30x-125)の-x^2+30x-125$を100
にすればいいから$、y=log(10)100=log(10)10^2=2log(10)10=2$
です。

[ゲスト]

丁寧なご回答いただいてありがとうございます。
対数関数のグラフはどちらのパターンも書きましたが、最大というものは無限大に存在すると思っておりました。
定義域があるので最大の値というのが存在することになるのですね。
２次関数の最大最小の求め方は分かります。が、対数関数でリンクする理由がよくわかっていませんでした。
ご説明の通り、真数の範囲を描く関数が二次関数と考えればいいのでしょうか。
２つのlogの足し算なのに最大値が１つというのもピンと来てなく、最後の指揮がよくわかってなかったのですが、
ご説明を元にもう一度見直します。
明快なお答え感謝いたします。