二次不等式について

[ゲスト]

2次不等式の解き方を教えてください。

判別式とグラフの考え方で答え方が違うのですが、
こっちはこの解き方！みたいな区別の仕方がわかりません(´◦ω◦`)

何が違うのでしょうか？

説明下手でごめんなさい


よろしくお願いします。

[ゲスト]

二次不等式の解というのを機械的に分類するのではなく
根本的に考えれば全て同じ考え方です。

二次不等式は右辺を0としたとき
左辺の二次式を二次関数のグラフ、右辺の0をy=0（すなわちx軸）
の位置関係を考える問題です。

$x^2-5x+6>0$であれば、
$y=x^2-5x+6$のグラフがx=0(x軸)より上にある部分の
x座標の範囲を示した式です。
x軸との共有点の座標は$x^2-5x+6=0$の解でx=2,3ですので
$y=x^2-5x+6$はx軸と2,3で交わる下に凸のグラフを描く。
この二次関数のグラフがx軸より上に描かれているxの範囲は
x<2,3<xなのでこれが不等式の解。

同様に$
x^2-4x+4>0$ならば、$y=x^2-4x+4$のグラフがx軸より上にある部分。
このグラフは頂点が(2,0)でx軸上にある下に凸のグラフですので
x軸上の頂点(2,0)だけが条件を満たさない。
だから、不等式の解はx≠2である全ての実数となる。

$2x^2+4x+3<0はy=2x^2+4x+3$のグラフがx軸より下にある部分。
$y=2x^2+4x+3=2(x+1)^2+1$で、頂点が(-1,1)の下に凸のグラフ。
このグラフはx軸より下にはいかないので、
条件を満たすx座標はない＝「解なし」という答えとなります。

慣れるまではグラフを書いて考えましょう。
そのうち、頭の中でグラフが浮かぶようになりますよ。

以上です。ご確認をお願いします。