微分の解き方について教えてください

[ゲスト]

３次関数の問題の解き方がわかりません。特に（）で囲んだところがよくわからないので詳しく解説してほしいです。

[ゲスト]

（１）は回答のとおりですので割愛しますね。
ただ、この３次関数のイメージは添付1のようになります。

（２）
y軸上の点Pから接線が３本引けるとは添付2のようなイメージです。
このイメージを持ちながら問題文を解いていきましょう。
（１）より、ある接点（t,f(t)）における接線の方程式は次のようになります。

\begin{equation}
y=3(t^2-4t+1)x-2t^3+6t-8・・・①
\end{equation}

ここで、問題文の「点P(0,p)から曲線y=f(x)に異なる3本の接線が引ける」ということは、
言い換えると「点P（0,p）を①の式に代入して、そのときtが３つ存在すればいい」ということになります。
添付2に示したとおり、Pを通りつつ、接点tが３つ存在していれば題意を満たします。

①の式に（0,p）を代入すると次のような式になります。
\begin{equation}
p=-2t^3+6t^2-8・・・②
\end{equation}

②の式はpとtの３次関数になりますね。ですので、tが３つ存在するにはt軸との交点が3つあればOK
ということになります。

では②の関数がどんな形になるか見ていきましょう。
\begin{equation}
p=-2t^3+6t^2-8
\end{equation}
\begin{align}
p’ &=-6t^2+12t \\
&=-6t(t-2)
\end{align}

よって極値は次のとおりになり、グラフにすると添付３のようになります。
\begin{equation}
t=0のときy=-8
\end{equation}
\begin{equation}
t=2のときy=0
\end{equation}

したがって、添付3のグラフからも分かるとおり、tが３つ存在するにはpは以下の範囲であればOKということになります。\begin{equation}
-8<p<0
\end{equation}